Série D - Mathématiques

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2011

 

MATHEMATIQUES    –  Série : D

                                   

                                    N.B :  - Les DEUX exercices et le Problème sont obligatoires.

                                             - Machine à calculer scientifique NON programmable autorisée.

EXERCICE 1    (5 points)                                                                                                                   corrigé

      Soit l’équation (E) :

      1°) Montrer que (E) admet une solution imaginaire pure  où est un nombre réel que l’on 

            déterminera.                                                                                                                          (0,5pt)

      2°) a- Montrer que (E) peut s’écrire sous la forme : où a, b, c sont

             des nombres complexes à déterminer.                                                                                  (0,75 pt)

            b- Résoudre dans C l’équation (E)                                                                                          (0,75pt)

      3°) Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormé direct , d’unité 1 cm,

             on donne  les points  A,B, et C d’affixes respectives     2i  ;  3 +  i  et   4+ 2i.

            a- Placer les points A, B, et C dans le plan (P).                                                                       (0,25pt)

            b- On pose

Ecrire  sous forme trigonométrique.                                                                                             (0,5 pt)

c- En déduire la nature du triangle ABC.                                                                                              (0,5pt)

            d- Trouver l’affixe du point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme                (0,5pt)

      4°) Soit S la transformation d’expression complexe

            a-  Quelle est la nature de S et donner ses éléments caractéristiques.                            (0,25pt + 0,5pt)

            b-  Construire l’image de ABCD par .                                                                 (0,5pt)

 

EXERCICE 2    (5 points)                                                                                                                   corrigé

       I ) Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher dont :

            . 3 rouges numérotées : 2 ; 2 ; 5

            . 5 blanches numérotées : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5.

      1) Le jeu consiste à tirer au hasard et simultanément deux boules de l’urne.

             Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

            A : « obtenir deux boules de couleurs différentes »                                                                 (0,25pt)

            B : « obtenir deux boules de numéros pairs »                                                                         (0,5 pt)

            C : « obtenir deux boules dont le produit des numéros est égal à 4 »                                       (0,5 pt)

      2) On tire au hasard et successivement avec remise 3 boules de l’urne.

             Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de boules portant le numéro 5 obtenu.

a)       Déterminer l’univers image de X                                                                                       (0,5pt)

b)      Donner la loi de probabilité de X                                                                                       (0,75pt)

 

NB : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

     

II) On donne sur le tableau ci-dessous le nombre d’élèves d’un lycée ayant réussi le Baccalauréat durant

4 années successives :

 

 

1)       Représenter le nuage des points M_i (x_i, y_i)   associé à cette série statistique.  (0,75pt)

Echelle : sur l’axe des abscisses, prendre 1cm pour représenter une unité.

              sur l’axe des ordonnées, placer 2 à l’origine des axes puis prendre 1cm pour

              représenter 100 élèves.

      2)  Déterminer le point moyen G.                                                                                      (0,5pt)

      3)  Calculer le coefficient de corrélation r et interpréter.                                                       (0,5pt)

      4)  Ecrire l’équation de la droite de régression de y en x.                                                  (0,5pt)

      5)  Combien de réussites peut-on espérer en 2014 ?                                                                     (0,25pt)

      NB : Les résultats seront donnés à 10^-2 près.

 

PROBLEME     (10 points)                                                                                                                 corrigé

   On considère la fonction numérique définie sur IR par :

   On note (C) sa courbe représentative dans un plan muni d’un repère orthonormé  d’unité 2cm.

1)  Soit g la fonction numérique définie sur IR par :

           a- Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.                                              (0,5pt+0,5pt)

           b- Démontrer que l’équation  admet une solution unique notée dans IR

               et que .                                                                                                 (0,5pt)

            c- En déduire le signe de  suivant les  valeurs de .                                         (0,5pt)

      2)  a- Calculer   et .                                                                (0,25 pt x2)

           b- Calculer la dérivée   et montrer que :pour tout élément de IR.   (0,5pt)

           c- Montrer que .                                                                                (0,5pt)

           d- Dresser le tableau de variation de .                                                                    (0,5pt)

      3) a- Calculer  et interpréter graphiquement ce résultat.                                   (0,25 pt x2)

           b- Démontrer que la droite (D) :  est asymptote à (C) au voisinage de            (0,5pt)

           c- Etudier la position de (C) par rapport à (D).                                                            (0,5pt)

      4)  a- Ecrire une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse.                  (0,5pt)

           b- Montrer qu’il existe un point A de (C) où (C) admet une tangente () parallèle à (D).      (0,25pt)

               Trouver les coordonnées du point A.                                                                       (0,25pt)

      5) Tracer (D), (T), () et (C) dans le même repère. Pour la  construction, on prendra

                  et .                                                                                    (0,25ptx3+1,25pt)

      6)  a- A l’aide d’une intégration par partie ; calculer                                 (0,5pt)

           b- Déterminer, en cm²  , l’aire A  du domaine plan délimité par (C), (D) et les droites

                d’équations  et ,  ( > 0 )                                                                   (0,5pt)

           c- Calculer  .                                                                                         (0,5pt)