Enoncé Mathématiques série C 2007
Baccalauréat de l'enseignement général
Madagascar
Session 2007
mathematiques – Série : C
NB : - L’Exercice et les deux Problèmes sont obligatoires.
- Machine à calculer autorisée.
Exercice (4 points) corrigé
I. 1 - Montrer par récurrence que 9n – 2n est divisible par 7 pour tout n Î IN*. (0,50 pt)
2 - Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, 3n – 2 et 5n – 3 sont premiers entre eux. (0,25 pt)
3 - On considère dans Z/7Z, l’équation (E) : x2 – x + = .
a - Vérifier que est une solution de (E). (0,25 pt)
b - Démontrer que l’équation (E) est équivalente à : (x – )2 = . (0,50 pt)
c - En déduire l’ensemble S des entiers relatifs x vérifiant (0,50 pt)
II. Une urne contient - dix boules blanches numérotées de 1 à 10, corrigé
- six boules noires numérotées de 11 à 16
- et quatre boules vertes numérotées de 17 à 20.
1 - On tire au hasard et successivement sans remise deux boules de l’urne ; calculer la probabilité des événements suivants :
A : « les deux boules tirées sont de même couleur ». (0,50 pt)
B : « les numéros des boules tirées sont des nombres premiers ». (0,50 pt)
2 - On tire au hasard et successivement avec remise deux boules de l’urne ; calculer la probabilité des événements suivants :
C : « une au moins des boules tirées est blanche ». (0,50 pt)
D : « les numéros des boules tirées sont divisibles par 7 ». (0,50 pt)
(N.B. : Mettre les résultats sous forme de fractions irréductibles)
Problème I (7 points) corrigé
Dans le plan orienté (P), on considère le carré ABCD de centre O tel que la mesure de l’angle () = . Soit E le milieu du segment [CD]. On considère le carré DEFG de centre O’ tel que la mesure de l’angle () = . On note respectivement (Γ) et (Γ ’) les cercles circonscrits aux carrés ABCD et DEFG.
Partie A
1 - Faire une figure avec AB = 6cm. (0,25 pt)
2 - Soit S la similitude plane directe de centre D qui transforme A en B.
a - Déterminer le rapport et l’angle de S. (0,25+0,25)
b - Préciser l’image du point E par S et en déduire une mesure de l’angle () (0,25+0,25)
3 - On note I le point d’intersection des droites (AE) et (BF).
a - Placer le point I sur la figure. (0,25 pt)
b - Montrer que le point I est l’intersection des cercles (Γ) et (Γ’). (0,50 pt)
(On rappelle que : quatre points distincts A, B, C et D appartiennent à un même cercle si et seulement si mes () = mes () [p])
c - En déduire que les droites (ID) et (BF) sont perpendiculaires. (0,50 pt)
4 - On considère la symétrie orthogonale D d’axe (D) = (OO’).
Montrer que D (D) = I. (0,50 pt)
Partie B
Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé direct (D, ) avec = et = .
1 - Donner les affixes des points A, B, C, D et G. (1,00 pt)
2 - a - Ecrire l’expression complexe de la similitude plane directe S de centre D qui transforme A en B. (0,50 pt)
b - En déduire les éléments caractéristiques de S. (0,50 pt)
3 - On considère l’application f : (P) ¾® (P), qui à tout point M d’affixe z = x + iy associe le point M’ d’affixe z’ = x’ + iy’ ; x, y, x’, y’ Î IR, tel que z’ = ( + i) + (– + i).
a - Déterminer la nature et les éléments géométriques de f. (0,25+0,50)
b - Exprimer x’ et y’ en fonction de x et y. (0,50 pt)
c - Déterminer l’affixe zI du point I tel que f(D) = I. (0,50 pt)
d - Vérifier que les points G, I et C sont alignés. (0,25 pt)
Problème II (9 points) corrigé
Partie A
I. On considère la fonction g définie sur [0, +¥[ par : g(x) = ln(x+1) – x + – .
1 - Etudier la variation de g, puis en déduire le signe de g(x) pour tout x ≥ 0. (0,25+0,25)
2 - Montrer que pour tout x ≥ 0 on a : ln(1+x) – x + ≥ 0 puis déduire des questions précédentes que – ≤ ≤ – + . (0,50+0,50)
II. Soit la fonction f définie sur [0, +¥[ par : , si x ≠ 0.
1 - a - Etudier la continuité et la dérivabilité de f, à droite au point d’abscisse 0. (0,25+0,25)
b - Donner l’équation de la tangente (T) à la courbe de f au point d’abscisse 0. (0,25 pt)
c - Etudier les variations de la fonction h définie sur [0, +¥[ par :
h(x) = x – (x+1)ln(x+1). En déduire le signe de h pour tout x ≥ 0. (0,50+0,25)
d - Déterminer la fonction dérivée f’ de f et en déduire son signe. (0,25+0,25)
e - Dresser le tableau de variation de f et tracer sa courbe représentative (C ) avec la tangente (T), dans le plan muni d’un repère (O ; , ) avec 1 unité = 2cm. (0,5+0,5+0,25)
2 - Soit F la fonction définie par F(x) = dt, avec x ≥ 0. Montrer que
≤ F(1) ≤ . (On pourra utiliser la question I.2-) Que peut-on en conclure ? (0,50+0,25)
Partie B
I. 1 - Montrer que l’image par f de l’intervalle I = [0,1] est incluse dans lui-même. (0,25 pt)
2 - Montrer que l’équation f(x) = x admet une solution unique a Î I. (0,50 pt)
3 - Soit la fonction k définie sur [0, +¥[ par : k(x) = x3+x2+2x – 2(x+1) ln(x+1).
Calculer la dérivée k’(x) de k(x) pour tout x ≥ 0 et montrer que k’ est croissante sur [0, +¥[ . En déduire le signe de k’(x) et de k(x) pour tout x ≥ 0. (0,25x4)
4 - Montrer alors que pour tout x ≥ 0, f’(x) + ≥ 0, puis en déduire que pour tout x Î I |f’(x)| ≤ . (0,50+0,25)
II. On considère la suite (Un)nÎIN définie par : n Î IN.
1 - Montrer par récurrence que pour tout n Î IN, Un Î I. (0,25 pt)
2 - Montrer, en appliquant le théorème des inégalités des accroissements finis, que pour tout entier naturel n, |Un+1 – a|≤ |Un – a|. (0,25 pt)
3 - En déduire que pour tout entier naturel n, |Un – a|≤ . (0,25 pt)
4 - Calculer la limite de Un quand n tend vers +¥ (0,25 pt)