Série A - Mathématiques

 

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2000

 

mathematiques    –  Série : A

 

Exercice 1      (4 points)                                                                         corrigé

N.B. :      –    Les questions 1., 2. et 3. sont indépendantes.

               –    On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.                      

Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher dont 4 blanches et 4 noires.

1.                 On tire au hasard et simultanément 3 boules de l’urne.

a.   Déterminer le nombre de tirages possibles.                                                     (0,5 pt)

b.   Quelle est la probabilité d’obtenir 3 boules blanches ?                                      (0,5 pt)

c.   Quelle est la probabilité d’obtenir 1 boule blanche et 2 boules noires ?              (0,5 pt)

2.                 On effectue 3 tirages successifs d’une boule, en remettant dans l’urne, avant chaque tirage, la boule précédemment tirée.

a.   Quel est le nombre de tirages possibles ?                                                       (0,5 pt)

b.   Quelle est la probabilité de sortir ainsi 3 boules noires ?                                   (0,5 pt)

c.   Quelle est la probabilité de sortir ainsi 1 blanche puis 2 noires ?                       (0,5 pt)

3.                 On tire toutes les boules une à une sans remise.

a.   Quel est le nombre de tirages possibles ?                                                       (0,5 pt)

b.   Quelle est la probabilité pour que les couleurs de toutes les boules tirées soient alternées ?                                                                                                        (0,5 pt)

 

Exercice 2      (4 points)                                                                          corrigé

Le tableau suivant montre le chiffre d’affaires, exprimé en millions de francs malagasy, d’une entreprise au cours des six dernières années.

 

1.       Calculer la moyenne de la série (y_i).                                                                     (0,5 pt)

2.       Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points M_i ( x_i ,y_i). (Sur l’axe des abscisses, 2 cm représente une année ; sur l’axe des ordonnées, 1 cm représente 20 millions).                                                                                                          (1,5 pt)

3.       Soit G₁ le point moyen du sous–nuage obtenu par x₁ , x₂ et x₃ ; G₂ le point moyen du sous-nuage obtenu par x₄ , x₅  et x₆.                                                                           

         a.   Déterminer les coordonnées de G₁ et de G₂.                                                    (0,5 pt)

         b.   Tracer la droite (G₁G₂). Que représente cette droite ?                                       (0,5 pt)

         c.   Donner l’équation de la droite (G₁G₂).                                                             (0,5 pt)

         d.   En déduire une prévision du chiffre d’affaires de cette entreprise en 2002.          (0,5 pt)

 

 

 

 

Problème   (12 points)                                                                             corrigé

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] – 4 ; 2 [ par : f (x) = ln (x + 4) – ln (2 – x).

On note par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; ), d’unité 2 cm.

1.       Calculer les limites de f en – 4 et en 2. Interpréter graphiquement ces résultats.       (2 pts)

2.       a.   Montrer que, pour tout x ] – 4 ; 2 [, la fonction dérivée de f est :

               f ’ (x) = .                                                                                   (1 pt)

         b.   Dresser le tableau de variation de f.                                                               (1 pt)

3.       a.   Déterminer le point d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses.                     (1 pt)

         b.   Ecrire l’équation de la tangente (T) à (C) au point I( –1 ; 0 ).                           (1 pt)

         c.   Montrer que le point I ( –1 ; 0 ) est un centre de symétrie pour (C).                 (1 pt)

4.       Tracer (T) et (C) dans un même repère.                                                              (2 pts)

5.       Soit F la fonction définie sur l’intervalle ] – 4 ; 2 [ par :                                         

               F (x) = ( x + 4 ) ln ( x + 4 ) – ( x – 2 ) ln ( 2 – x ).

         a.   Calculer la fonction dérivée F ’ de F.                                                               (1 pt)

         b.   En déduire la valeur exacte en cm² de l’aire du domaine plan limité par (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = – 1 et  x = 0.                                       (1 pt)

6.       Soit g la fonction définie sur ] – 4 ; 2 [ par :                                                        

               g (x) = ln .

         a.   Montrer que, pour tout x ] – 4 ; 2 [ : g (x) = – f (x).                                    (0,5 pt)

         b.   Tracer dans le même repère que (C) la courbe représentative de g.             (0,5 pt)