Série A - Mathématiques

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2007

 

mathematiques    –  Série : A

 

NB :     - Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le PROBLEME

- Machine à calculer autorisée

 

EXERCICE I (5 points)                                                                                                      corrigé

Soient   et     deux suites numériques définies respectivement par :

          ,  n IN        et       ,   n IN

1- Calculer  U₁,  V₀  et  V_1.                                                                                                                  (0,25x3pts)

2- a- Montrer que  est une suite géométrique de raison                                                            (1pt)

  b- Exprimer V_n en fonction de n.                                                                                                     (1pt)

3- a- Exprimer U_n en fonction de V_{n .}                                                                                                    (1pt)

  b- En déduire l’expression de U_n en fonction de  n.                                                                         (0,5pt)

 c- Calculer U_n. Que peut-on en conclure ?                                                                            (0,5+0,25pt)                                                                                                                  

EXERCICE II (5 points)                                                                                corrigé

Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher, portant les lettres A, B et C et dont la répartition

suivant la couleur est donnée par le tableau ci-dessous :

 

Chaque boule a la même probabilité d’être tirée.

1°-On tire au hasard et simultanément trois boules du sac.

  a-Déterminer le nombre de tirages possibles.                                                                                            (0,5pt)

  b-Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :                              

E₁ :‘‘obtenir trois boules de même couleur’’.                                                                              (1pt)

E₂ :‘‘obtenir exactement deux boules portant la même lettre ’’.                                                    (1pt)

E_{3  :}‘‘obtenir trois boules de même couleur et portant la même lettre’’                                           (0,5pt)

2°-On tire successivement trois boules du sac, sans remettre dans le sac la boule qui a été tirée.

Calculer la probabilité des évènements suivants :

F₁ :‘‘obtenir les lettres B, A et C dans cet ordre ’’.                                                                                  (1pt)

F₂ :‘‘obtenir au plus deux boules noires’’.                                                                                              (1pt)

 

(N.B : Mettre les résultats sous-forme de fractions irréductibles)

 

 

 

PROBLEME (10 points)                                                                                corrigé

Soit la fonction numérique  f  de la variable réelle x définie sur  IR par :  .

On désigne par (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé direct (O ; ) d’unité 2cm.

1-Calculer f(x). Interpréter  géométriquement le résultat.                                                            (0,5+0,5)  (0,5+0,5)

2-Montrer que pour tout  x IR ,  f(x) =  et en déduire  f(x).                              (0,5+0,5)  (0,5+0,5)

3-a-Déterminer la fonction dérivée f ’(x) et montrer que pour tout   x IR, f ’(x) =  e ^x (1 – e ^x )                (1+0,5)     (0,5+0,5)

 b-Etudier le signe de f ’(x), pour tout   x IR.                                                                                              (0,5)        (0,5)

 c-En déduire le tableau de variation de f.                                                                                         (1,5)        (1)

4-a-Déterminer les coordonnées du point A intersection de la courbe (C ) avec l’axe des abscisses.  (1)           (0,5)

 b-Ecrire une équation de la tangente (T) au point d’abscisse   x_o = ln 2.                                                        (1)           (0,5)

5-En remarquant que pour tout   x IR : 

 Calculer   .  Interpréter  géométriquement le résultat. (On admet que) (0,5+0,5)  (0,5+0,5)

6-Tracer la courbe (C ) et la tangente ( T ).                                                                                          (1+0,5)    (1+0,5)

 

Pour A2 seulement :

7-a-Montrer que pour tout x IR.          f(x)                                                              (0, 0)       (0,5)

 b-Déterminer une primitive de f sur  IR.                                                                                            ( 0 )         (0,5)

 c-En déduire l’aire géométrique A, en cm², du domaine plan limité par la courbe (C ),

l’axe des abscisses et les droites d’équations :  x = 0   et  x = ln 2.                                                           ( 0 )         (1)

 

On donne  ln 2 = 0,7 ;    e = 2,7