Série C - Mathématiques

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2008

 

mathematiques    –  Série : C

 

N.B. :        - L’Exercice et les deux Problèmes sont obligatoires.

                 - Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

 

Exercice  1                (4 points)                                                                                          

A – Probabilité                                                                                                                   corrigé

            Une urne contient six billes indiscernables au toucher, dont quatre numerotées 12 et deux numerotées 13.

1 –    Pour commencer, le jeu consiste à extraire simultanément et au hasard trois billes de l’urne.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

E : « la somme des trois nombres inscrits sur les trois billes extraites est strictement supérieure à 36 ».                                                                                               (0,5)

F : « les trois billes extraites portent le même numéro ».                                        (0,5)

2 –    Maintenant, le jeu consiste à extraire successivement et sans remise, deux billes de l’urne.

Calculer la probabilité de l’événement :

G : « le produit des deux nombres inscrits sur les deux billes est un carré        parfait »                                                                                                                               (0,5)

3 –    Enfin, le jeu consiste à extraire successivement et avec remise, sept billes de l’urne.

Calculer la probabilité de l’événement.

H : « obtenir au moins une bille numéro 13 ».                                                          (0,5)

N.B. : On donnera tous les résultats à 10^–2 près.

 

B – Arithmétique                                                                                                                corrigé

1 –    On considère le nombre A défini pour tout entier naturel n par A = 9ⁿ⁺¹ + 2⁶ⁿ⁺¹.

Démontrer que A est divisible par 11 pour tout n de IN :                                                 

a)     en utilisant les congruences                                                                                     (0,5)

b)     en raisonnant par récurrence.                                                                                  (0,5)

2 –    Déterminer tous les entiers relatifs x vérifiant le système :

                                                                                                                (1,0)

 

PROBLEME 1                      (7 points)                                                               corrigé     

PARTIE A Dans le plan orienté (P), l’unité de longueur est le centimètre. On donne :

•         Le triangle OAB (figure ci-contre)
•         Le triangle OCB, équilatéral direct de centre de gravité G.
•         R_B la rotation de centre B et d’angle
•       R_O la rotation de centre O et d’angle
•         R la composée R_{B º} R_O.

1 –    a)      Faire une figure en prenant OA = OB = 8.         (0,25)

         b)      Préciser la nature de la transformation R.          (0,25)

         c)      En décomposant R_B et R_O, déterminer le centre de R.                                           (1,0)

2 –    On désigne par H le barycentre des points pondérés (O,2), (B,1) et (C,1). Soit I le milieu du segment [CB].

a)      Construire H.                                                                                                                (0,5)

b)      Déterminer l’ensemble (C ) des points M du plan (P) tels que :

                                                                                                                              (0,75)

c)      Montrer que (C ) passe par I. Construire (C ).                                                  (0,25 + 0,25)

PARTIE B On munit le plan (P) du repère orthonormé direct .

1 –    Déterminer l’affixe de chacun des points O, A, B, C, et G.                                              (1,0)

2 –    a)      Donner une mesure de l’angle () et la valeur du rapport .           (0,5 +0,5)

         b)      En déduire les éléments caractéristiques de la similitude plane directe S qui transforme G en A et laisse O invariant.                                                                    (1,0)                                                                                                                                      

         c)      Donner l’expression complexe de S.          (0,75)

 

PROBLEME 2                      (9 points)                                                                corrigé

PARTIE A       Soit n IN*. f_n est la fonction numérique définie dans l’intervalle [0,+ [ par :

 (C_n) désigne la courbe représentative de f_n dans un plan (P) muni d’un repère orthonormé direct,  d’unité graphique 2 cm.

1 –    a)      Montrer que f_n est continue et dérivable en 0.                                           (0,25 + 0,25)

         b)      Dresser le tableau de variation de f_n sur [0,+ [.                                               (1,5)

2 –    On considère le fonction numérique g définie sur [0,+ [ par g(u) = e^–u + u – 1.

a)           Déterminer le sens de variation de g sur [0,+ [.                                                 (1,25)

b)           Déduire de cette monotonie de g, que pour tout réel u de [0,+ [ :

0 1 –  e^–u    u.                                                                                                           (0,5)

c)            Montrer ensuite, que pour tout réel h de [0,+ [ : 0 e^–h + h – 1 .         (0,5)

d)           En déduire que pour tout réel x de ]0,+ [ : 0 f_n(x) – (x – )   

      et que la droite (_n) d’équation y = x -  est une asymptote de (C_n).        (0,5 + 0,25)

e)           Vérifier que (C_n) reste au-dessus de (_n).                                                              (0,25)

3 –    Tracer (C₂) et (₂) dans (P).                                                                                                (0,75)

 

PARTIE B    On pose I_n = (t)dt pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1.

a)      Montrer que pour tout réel t de [0 ; 1] : (t – ) ≤ f_n(t) ≤ t.                                         (0,75)

b)      En déduire que I_n = .                                                                                      (0,25)

 

PARTIE C    On considère l’équation différentielle (E) : y’ – y = .

1 –    Résoudre l’équation différentielle (E’) : y’ – y = 0.                                                              (0,5)

2 –    a)      Montrer que la fonction f telle que f(x) = x, où  x ]0,+ [,  est solution de (E).                                                                                                                                       (0,25)

b)      étant une fonction numérique dérivable sur ]0,+ [ , montrer que                    ( + f) est solution de (E) si et seulement si est solution de (E’).                                  (0,75)

c)      Achever la résolution de (E).                                                                                     (0,5)