Séquence 1: Référentiel-vecteur de position - vecteur vitesse - vecteur accélération

Le mouvement rétrograde de Mars

 

Avertissement : ce document peut être utilisé au moins partiellement dans toutes les classes de lycée.Les lois de Képler et la partie mathématique du dernier paragraphe sont du niveau exclusif de terminale.

 

I- Objectifs du  document :

 

-découvrir quelques éléments d’histoire des sciences

-approfondir les notions de référentiel et de relativité du mouvement. (notions exigibles en classe de seconde)

-définir les référentiels héliocentrique et géocentrique. ( indispensables pour l’étude des satellites en terminale)

-utiliser un logiciel de pointage avec calque virtuel pour tracer une trajectoire dans deux référentiels différents.

-vérifier la troisième loi de Képler.  

-établir les équations géocentriques du mouvement d’une planète.(complément mathématique du niveau de terminale)

-utiliser les résultats précédents pour tracer les trajectoires dans un tableur.

 

II-Observation de la trajectoire de Mars depuis la Terre:

 

Le document ci-dessous représente les positions successives de Mars parmi les constellations de juillet à octobre 2005. La planète se déplace de la gauche vers la droite, puis change de sens  pour repartir ensuite vers la droite…La trajectoire trace une boucle caractéristique très aplatie que l’on nomme rétrogradation. 

 

 

Comment expliquer cette rétrogradation de Mars ?

 

Plusieurs interprétations de celle-ci furent proposées en relation avec les modèles de l’Univers qui évoluèrent au cours des siècles. Nous allons présenter les modèles de Ptolémée et de Képler.  

 

Pour faciliter la compréhension de ces derniers  nous proposons au lecteur d’effectuer le tracé de la trajectoire de Mars dans les référentiels héliocentrique puis géocentrique  avec le logiciel Avistep.

 

Le lecteur intéressé pourra aborder l’étude mathématique.

 

III- L’interprétation de Ptolémée (IIème siècle ap. JC): le géocentrisme

Elle est basée sur les deux principes suivants :

 

-le géocentrisme : toutes les planètes du système solaire, y compris le Soleil  se meuvent autour de la Terre qui est le centre du monde. Quant aux étoiles elles sont « accrochées » sur une sphère extérieure dite « sphère des fixes ».

-le mouvement des planètes résulte d’une combinaison de mouvements circulaires et uniformes.

 

Comment expliquer cette rétrogradation en respectant ces deux principes ?

 

Ptolémée propose le système des épicycles :

Dans ce système, les planètes se meuvent sur des petits cercles appelés « épicycles » qui tournent sur eux-mêmes d’un mouvement uniforme…Les petits cercles sont eux-mêmes entrainés sur  un cercle plus grand « le déférent » centré sur la Terre.

 

Le cercle déférent de chaque planète tournant autour de la Terre d’un mouvement circulaire et uniforme.

 

Ce modèle très imparfait permettait cependant d’accorder les observations avec les idées religieuses et philosophiques de l’époque qui attribuaient  à la Terre une place centrale dans l’Univers. Il n’a  été remis en question que 14 siècles plus tard par Copernic puis Képler !

 

 

IV- L’interprétation de Képler (1605) : l’héliocentrisme :

 

Kepler exploite les mesures précises effectuées pendant une trentaine d’années par son  maître Tycho Brahé (astronome danois) .Contrairement à son maître, il réfute le modèle géocentrique et reprend les hypothèses de Copernic qui  place le Soleil en position centrale, toutes les planètes tournant autour de lui.

 

Selon ce modèle, la Terre n’est plus qu’une planète comme une autre. Cette idée était condamnée fermement par les Eglises de l’époque.

 

L’exploitation des mesures de Tycho Brahé obligèrent Képler à abandonner la trajectoire circulaire et le mouvement uniforme et à énoncer les 3 lois suivantes :

 

1^ère loi : les planètes décrivent des ellipses dont l’un des foyers est occupé par l’astre central.

 

2éme  loi : les aires balayées par le rayon vecteur de l’astre sont proportionnelles au temps.

(loi des aires)

 

3éme loi : le carré des périodes T des astres d’un même système est proportionnel au cube du demi grand axe r de l’ellipse.(loi dite des périodes)

 

Cette relation établie par Képler empiriquement fut démontrée ultérieurement par  Newton à partir de sa deuxième loi de la dynamique.

 

Ces lois s’appliquent à tous les systèmes : système du Soleil avec ses planètes, système de Jupiter avec ses satellites, système d’Uranus ..etc..

Enfin, Képler entreprit de résoudre l’énigme de la rétrogradation de Mars. Celle-ci n’est en fait qu’un mouvement apparent vu de la Terre.

 

 

Pour approfondir cette question, cliquer sur le lien :

Animation sur les lois de Képler

 

 

V- Définition des référentiels héliocentrique et  géocentrique :

 

Observons le  schéma ci-dessous.

Par commodité chaque référentiel a été  représenté par un repère cartésien particulier qui lui est lié. Convenons de le nommer « repère associé ».

 

Le repère associé au référentiel héliocentrique (H) a pour origine le centre du Soleil et ses 3 axes sont orientés vers des étoiles a, b et c lointaines (considérées fixes).

Signalons que le Soleil tourne sur lui-même et qu’il possède donc un mouvement de rotation propre par rapport à ce référentiel

 

Un  référentiel géocentrique (G) peut être défini pour toute planète.

 

 Le repère associé choisi a pour origine le centre de la planète (ici c’est la Terre qui est représentée). Il est donc mobile par rapport au référentiel héliocentrique. Au cours du déplacement de la planète les 3 axes restent orientés vers les étoiles a, b et c. Ce qui signifie que le référentiel géocentrique de la planète est animé d’un mouvement de translation par rapport au référentiel héliocentrique.

 

La trace elliptique appartient au  plan de l’écliptique. Les centres des planètes du système solaire évoluent quasiment tous dans ce plan. L’axe nord-sud de la Terre est incliné d’environ 23 degrés par rapport à ce plan.  

 

 

VI-Tracé des trajectoires héliocentrique et géocentrique de Mars avec le logiciel « Avistep » (TP) :

 

Dans  le « dossier vidéo » de la médiathèque, ouvrir « Avistep » et  charger  le dessin animé   «17 trajectoire Mars.avi » .

 

 

Accés au dossier vidéo

 

Le travail proposé peut s’effectuer en deux étapes.

 

1-Tracés des trajectoires héliocentriques de la Terre et de Mars :

 

Le plan du tracé des trajectoires est celui de l’écliptique.

 

Dans le fichier « Mesures » indiquer « deux marques par image » afin de pouvoir donner simultanément la position des centres de la Terre (T) et de Mars(M).

 

Tracer un repère centré sur le Soleil(S). Démarrer la lecture du film à la 1^ère image (date 0).Cliquer sur les centres des planètes(T) puis (M), le film avance d’une image et la nouvelle date s’affiche en bas à gauche.

 

Evaluer la période de Mars en jours terrestres  puis en années terrestres.

 

Sachant que la distance moyenne Soleil-Mars est de 1,5 U.A ,montrer  que la planète Mars vérifie la 3^ème loi de Képler (loi des périodes).

On précise que la distance Soleil-Terre est égale par convention à 1 U.A (une unité astronomique).

 

On peut repérer la date d’opposition  (date pour laquelle S.T.M  sont alignés avec T entre S et M) et la date de conjonction (S.T.M alignés avec S entre T et M).

 

 

 

Lors de son opposition, Mars est au plus prés de la Terre. C’est le contraire lors de sa conjonction.

 

2- Tracé de la  trajectoire de Mars par rapport au référentiel géocentrique de la Terre:

 

Il faut faire apparaître le calque virtuel sur l’écran. Cliquer sur le logo correspondant dans la barre des taches inférieure.

Remettre le film à la 1^ère image(date t=0). Déplacer le calque et faire coïncider l’intersection des deux axes avec le centre de la Terre puis pointer la position de Mars. Le pointage fait avancer le film d’une image. Repositionner le calque et pointer la nouvelle position de Mars etc…..Faire cette opération  à chaque nouvelle image .On obtient alors la trace de la trajectoire géocentrique de Mars ainsi que la date en bas à gauche.(voir fig.ci-dessous)  

 

 

Nous obtenons la boucle caractéristique de la rétrogradation vue par un observateur qui serait placé selon une direction perpendiculaire au plan de l’écliptique et à une grande distance de ce dernier.

 

Vue de la Terre la boucle est en réalité « écrasée » car le plan de rotation de Mars autour du Soleil est incliné de 2 degrés environ par rapport au plan de l’écliptique dans lequel se trouve la Terre.

 

Au sommet de la boucle, Mars est au plus prés de la Terre ; Mars et le Soleil sont dits alors en opposition par rapport à la Terre. Relevé la date et vérifier qu’elle correspond avec celle relevée lors de la 1ére étape du travail.

 

Au contraire, lorsque la distance entre Mars et la Terre est maximum, Mars et le Soleil sont en conjonction. (voir fig. ci-dessous)

 

Evaluer la durée entre deux rétrogradations successives de Mars.

 

 

VII -Coordonnées géocentriques d’une planète (niveau terminale):

Nous proposons d’établir celles-ci pour toute planète P du système solaire.

Hypothèse simplificatrice : la Terre et la planète P sont animés d’un mouvement circulaire uniforme dans (H) .

La période de la Terre étant  égale à 1 an

A la date  t l’élongation angulaire de la Terre par rapport à (H ) est :

A la même date t , l’élongation de la planète par rapport à (H )est :

.

La distance terre soleil ST =1U.A  et la distance SP=k (k=1.5 pour Mars)

 

Pour  tracer les trajectoires de Vénus, Mars et Jupiter en utilisant les équations précédentes, cliquer sur le lien ci-dessous :

 

Trajectoires géocentriques (animations)