Série A - Mathématiques

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2003

 

mathematiques    –  Série : A

 

N.B. : Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.

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Exercice 1                (5 points)                                                                                             corrigé

 

Dans une classe de douze élèves, la répartition suivant l’âge et le sexe est donnée par le tableau suivant :

On choisit au hasard et simultanément trois élèves de la classe.

1.       Déterminer le nombre de choix possibles.                                                                                         (0,5 pt)

2.       Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

A.      « les élèves choisis sont des filles ».                                                                                     (0,75 pt)

B.      « les élèves choisis ont plus de 18 ans ».                                                                              (1 pt)

C.      « les trois élèves choisis ne sont pas de même sexe ».                                                         (1,25 pt)

D.      « au moins un élève choisi a exactement 19 ans ».                                                                 (1,5 pt)

 

Exercice 2                (5 points)                                                                                             corrigé

 

On considère la suite (u_n) définie par :  u₁ = 5      et         u_{n + 1} = u_n + .

On pose v_n = u_n – 2.

1.       Calculer u₂ , u₃  et  v₁ .                                                                                                                       (0,75 pt)

2.       Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison .                                                                    (1 pt)

3.       Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.                                                                                                  (0,5 + 0,25 pt)

4.       On pose w_n = ln v_n où ln est le logarithme népérien.

a)       Montrer que (w_n) est une suite arithmétique dont on déterminera la raison et le premier terme.  (1,5 pt)

b)      Exprimer Sn = w₁ +  w₂ +… + w_n en fonction de n.                                                                  (1 pt)

 

Problème                   (10 points)                                                                                           corrigé

 

Soit  f  la fonction définie par  f(x) = 1 – 2x + e^x. On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,) d’unité 1 cm.

1.       a)   Déterminer l’ensemble de définition de f.                                                                                      (0,75  ;  0,50)

b)   Calculer f(x).                                                                                                                        (0,75  ;  0,50)

c)   En remarquant que pour tout x > 0, f(x) = x, calculer f(x). (On donne  = + ).                                                                                                                                (0,75  ;  0,50)

2.       a)   Calculer f ’(x).                                                                                                                              (1,00  ;  0,75)

b)   En déduire le tableau de variation de f.                                                                                         (1,25  ;  1,00)

3.       a)   Déterminer les coordonnées du point A, intersection de la courbe (C ) avec l’axe des ordonnées.  (1,00  ;  0,75)

b)   Ecrire l’équation de la tangente (T) à (C ) au point A.                                                                      (1,00  ;  1,00)

4.       a)   Calculer  [f(x) – (– 2x + 1)]. Que peut-on en conclure ?                                                           (1,00  ;  1,00)

b)   Etudier la branche infinie de (C ) lorsque x tend vers + . On admet que  = + .             (1,00  ;  0,75)

5.       Tracer (C ).                                                                                                                                         (1,50  ;  1,25)                                                                                                                                                       

Pour A₂ seulement

6.       a)   Donner une primitive de f sur IR.                                                                                                   (0,00  ;  1,00)

b)   En déduire l’aire géométrique en cm², du domaine plan limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 0 et x = ln 2.                                                                          (0,00  ;  1,00)

 

On donne : ln 2  ≈  0,7.