Série A - Mathématiques

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2005

 

Mathematiques    –  Série : A

 

N. B :          - Le candidat doit traiter les DEUX  Exercices et le Problème.

- Machine à calculer autorisée.

 

EXERCICE  1                    (5 points)                                                                                          corrigé

Soient la suite numérique (U_n)_nIN définie par la donnée de U₀ = 10 et la relation de récurrence :  pour  tout  n  1  et  (V_n)_nIN la suite définie pour tout n par : 

V_n = ln[U_n + 2].

 

1)         Calculer  U₁ , V₀  et V₁.                                                                                                                          (1,5 pt)

2)         a/ Montrer que pour tout n élément de IN   V_n+1 = ln.                              (1,0 pt)

b/ En déduire que  (V_n)_nIN  est une suite arithmétique de raison r = – ln2.             (1,0 pt)

    Préciser le sens de variation de (V_n)_nIN.                                                               (0,5 pt)

3)         Exprimer V_n en fonction de n.                                                                                  (0,5 pt)

4)         Exprimer U_n en fonction de V_n  puis en fonction de n.                                 (0,25+0,25pt)

 

 

EXERCICE  2                    (5 points)                                                                                          corrigé

 

Une urne contient dix jetons :

- deux jetons numérotés chacun par  1

- trois jetons numérotés chacun par  2

- quatre jetons numérotés chacun par  3

- un jeton numéroté par  4.

1)      On tire au hasard et simultanément trois jetons de l’urne.

a/ Quelle est la probabilité d’amener trois jetons portant chacun le numéro 3 ?          (0,5 pt)

b/ Quelle est la probabilité d’obtenir trois jetons portant chacun un numéro impair ?  (1,0 pt)

c/ Quelle est la probabilité d’amener la somme des numéros notés sur les trois jetons

 tirés à 10 ?                                                                                                                 (1,0 pt)

2)      On tire successivement et sans remise trois jetons de l’urne.

On suppose que les événements élémentaires sont équiprobables.

a/ Trouver le nombre de cas possibles.                                                                        (0,5 pt)

b/ Evaluer la probabilité de chacun des événements suivants :

A :  « Les trois jetons tirés portent le même numéro »                                           (1,0 pt)

B :  « Obtenir le jeton numéroté par 4 au dernier tirage ».                                      (1,0 pt)

 

PROBLEME                                 (10 points)                                                                            corrigé

 

Soit la fonction numérique f définie sur  IR par  f(x) =  4x²e^2X , (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; )  (unité : 4cm)

1°)       a/         Calculer     et       .                                              (0,5+0,5 ; 0,5+0,5pt)

b/           Interpréter graphiquement les résultats précédents.                          (0,5 ; 0,5pt)

c/           En admettant que  = 0   et en remarquant que f(x) = [ 2x e^x ] ².

Calculer  .                                                                                                  (0,5 ; 0,5pt)

2°)       a/         Montrer que pour tout x élément de IR :  f ’(x) = 8x(x + 1)e^2x.             (1,0 ; 1,0pt)

En déduire le signe de f ’(x) suivant les valeurs de x.                             (1,0 ; 0,5pt)

b/           Compléter le tableau des valeurs ci-dessous.                                    (1,0 ; 1,0pt)

 

x	– 1	–	0
f(x)

c/           Dresser le tableau de variation de f.                                                     (2,0 ; 1,5pt)

3°)       a/         Trouver une équation de la tangente à la courbe (C) au point d’abscisse .   (1,5 ; 1,0pt)

b/           Tracer (C) dans le repère (O ; ).                                                    (1,5 ; 1,0pt)

Pour A2 seulement

4°)       Soit la fonction F définie sur IR par :  F(x) = (2x² – 2x + 1)e^2X.

a/           Calculer F ’(x).                                                                                      (     ; 1,0pt)

b/       Calculer en cm², l’aire de la partie du plan limitée par (C), les droites d’équations respectives  x = –1  et  x = 0 et l’axe des abscisses (x’Ox).                   (     ; 1,0pt)

 

On donne :      e^–2 ≈  0,16                  e^–1 ≈  0,40                  e ≈ 2,70