Série D - Mathématiques

Baccalauréat de l'enseignement général

Madagascar

Session 2012

 

MATHEMATIQUES    –  Série : D

  

 N.B :  - Les DEUX exercices et le Problème sont obligatoires.

                                               - Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

 

EXERCICE 1 : (5 points)

1) Calculer (2– i)². En déduire la résolution dans C l'équation (E) : iz² –iz + 1 + i = 0.                          _{(0,5pt +1pt)}

2) Soit P le polynôme de variable complexe z définie par : P(z) = z³ – (4+i)z² + (7+i)z – 4.

a) Montrer que l’équation P(z) = 0 admet une solution réelle positive α que l’on déterminera.        (0,5pt)

b) Déterminer les nombres a et b tels que : P(z) = (z – 1) (z – 2 – 2i)  (az + b).                             (0,5pt)

3) Dans le plan complexe muni d’un repère orthogonal direct R(), on considère les trois points A,B et C, d’affixes respectives : 1 ; 2 + 2i et 1 – i .

a) Donner la forme trigonométrique de .                                                                      (0,75pt)

b) En déduire la nature du triangle OBC.                                                                                      (0,25pt)

4) Soit S la similitude plane directe telle que :  .

Déterminer l’expression complexe de S et préciser ses éléments caractéristiques.                    _{(0,75pt +0,75pt)}

 

EXERCICE 2 : (5 points)

 

Un bassin contient 10 poissons dont 2 carpes, 3 tanches et 5gardons.

On pêche au hasard et simultanément 3 poissons par un filet du bassin. Chaque poisson a la même probabilité d’être pris par le filet.

1) Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

E₁ : « avoir aucune tanche ».                                                                                             (0,75pt)

E₂ : « avoir au moins une carpe ».                                                                                     (0,75pt)

E₃ : « avoir exactement 2 gardons ».                                                                                 (0,5pt)

On répète quatre fois de suite cette épreuve d’une manière indépendante.

Soit X la variable aléatoire associée au nombre de la réalisation de l’évènement E₃.

a) Donner la loi de probabilité de X.                                                                                             (1,25pts)

b) Calculer l’espérance mathématique E(x) et la variance  V(x).                                                    (0,5pt + 0,5pt)

c) Calculer la probabilité P(x ≤ 3).                                                                                               (0,75 pt)

(N.B : on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible).

 

PROBLEME : (10 points)

 

I- Soit g la fonction numérique définie sur ]0 ; +∞ [ par : g(x) = x²+22lnx où ln désigne  la fonction logarithme népérien.

1) Calculer g’(x) puis étudier le sens de variation de g sur ]0 ; +∞[. (on ne demande pas les limites)     (0,5 pt+1 pt)

2) Calculer g(1). En déduire que g est strictement positif sur ]0 ; +∞[ .                                 (0,5 pt+ 0,25 pt)

 

II - Soit la fonction numérique définie sur l’intervalle ] 0 ; +∞[ par :

                .

On désigne par (C  ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé

d’unité graphique 2 cm.

1) a-  Calculer. Interpréter graphiquement le résultat.                                        (0,5 pt+ 0,25 pt)

b- Calculer   .                                                                                                       (0,5 pt)

2) a- Montrer que la droite (∆), d’équation est une asymptote oblique à la   

    courbe (C  ) au voisinage de+∞.                                                                                        (0,5 pt)

b- Etudier la position de (C  ) par rapport à (∆).                                                                       (0,25 pt)

3) a- Montrer que pour tout x ] 0 ; +∞[, où désigne la fonction  dérivée   de .       (1pt)

b- Justifier que à le même signe que  suivant les valeurs de.                                         (0,25 pt)

c-Dresser le tableau de variation de  sur ] 0 ; +∞[.                                                                (1 pt)

4) a- Ecrire une équation de la tangente (T) à (C  ) au point d’abscisse =1.                          (0,5 pt)

b-Tracer (T), (∆) et (C  )  dans le même repère.                                                              (0,5 pt+0,5 pt+1 pt)

5) Soit h la fonction définie  sur ] 0 ; +∞[ par :  .                   

a- Déterminer. En déduire l’expression de  où >1,

en fonction de.                                                                                                                      (0,5 pt)

b- Calculer, en cm², l’aire A du domaine plan limité par la courbe (C  ), l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives et.                                                                                       (0,5 pt)

On donne .