Séquence 2: Mouvement de rotation sinusoïdale

L’OSCILLATEUR HORIZONTAL(TP).

1-DISPOSITIF EXPERIMENTAL : le banc à coussin d’air 

Un mobile peut coulisser sans frottement sur un banc horizontal grâce à un coussin d’air produit par une soufflerie. Le mobile est relié au support de l’appareil par des ressorts disposés horizontalement et accrochés de chaque coté du mobile .Lorsqu’on écarte le système de sa position d’équilibre et qu’on l’abandonne, il effectue des oscillations libres avec un amortissement très négligeable. Le mouvement est donc périodique.

 

Banc à coussin d’air

 

II ETUDE EXPERIMENTALE :

On cherchera à déterminer l’expression de la période propre To à partir de séquences filmées par un petit appareil numérique. Les films proposés ont une fréquence image de 60s^-1.

 

1-Discussion préalable: recherche des paramètres pouvant influer sur la valeur de la période propre T₀.

Rappeler la définition de la période du mouvement.

Proposer quelques paramètres possibles.

(On pourra demander de faire un bilan de forces sur le mobile pour faciliter les propositions).

 

 

2-Mesure des raideurs des 3 systèmes de ressorts (étude statique):

(Celle-ci n’est possible que si l’on dispose de l’appareil. Dans le cas contraire on expliquera la méthode et on admettra les valeurs de k ).

Régler l’horizontalité du banc avec un niveau à bulle !

On disposera successivement 2 ressorts en parallèle de chaque coté du mobile, 1 ressort de chaque coté et 2 ressorts en série de chaque coté ce qui fait 3 raideurs équivalentes k₁ ; k₂ ; k₃ de valeurs décroissantes.

 

 

3-Influence de l’amplitude sur la période :

Ouvrir chacun des 3 clips « amplitudes 1,2, et 3 » avec « Avimeca ».La durée de chaque enregistrement est légèrement supérieure à une période d’oscillation.(Une durée supérieure demanderait une capacité de mémoire inutilement grande que l’ordinateur local n’a pas forcément à sa disposition!).

Pour chaque séquence, choisir l’image initiale (t=0) correspondant au passage du mobile par son élongation maximale et avancer le clip image par image pendant une période complète du mouvement. (Avimeca est utilisé uniquement comme chronomètre. Aucun réglage d’échelle n’est nécessaire, la période s’affiche directement dans le tableau à droite de l’image.)

 

_{La raideur du système de ressorts et la masse du mobile choisis sont indiqués dans le tableau ci-dessous.}

Mesurer la période du mouvement pour chacun des 3 clips : « amplitude1 », « amplitude2 »  et «amplitude3 »

Lien vers les clips :

dossier clips vidéos pour TP

 

4-Influence de la masse (la raideur restant constante) :

Visualiser les 4 vidéos « masses m₀ ; m₁ ; m₂ et m₃. »

Les valeurs des masses sont indiquées dans le tableau récapitulatif

Mesurer une période de chaque enregistrement comme précédemment.

La valeur de la raideur du ressort choisie pour les 4 séquences est indiquée dans le tableau.

Mesurer la période du mouvement pour chacun des 4clips :

 « m₀ », « m₁ », « m₂ », « m₃ »

Lien vers les clips :

dossier clips vidéos pour TP

 

5-Influence de la raideur (la masse restant constante):

Visualiser successivement les 3 clips correspondant aux 3 systèmes de ressorts de raideurs respectives k₁, k₂, k₃.

Mesurer les périodes comme précédemment.

C’est la masse m₁ qui a été choisie pour ces 3 vidéos.

Mesurer la période du mouvement pour chacun des 3 clips :

«  k₁ », « k₂ », « k₃ »

Lien vers les clips :

dossier clips vidéos pour TP

 

 

 

 

6-Récapitulatif :

Collecter toutes les valeurs dans une feuille de calcul Excel

 

1-mesure des raideurs des ressorts Dm Dl k=Dmx9,8/Dl S Y S T E M E DE R E S S O R T S g mm N,m-1 2 ressorts // de chaque coté du mobile      K1= 1 ressort  de chaque coté        K2= 2 ressorts en série de chaque coté      K3=                         2-influence de l'amplitude , k et m constants  , k=k3   m=m2=84g     T0(s)         2cm           3cm           5,5cm                       3-influence de la masse du mobile , k  constant , k=k3   masse m(g) T0(s)       m0= 36          m1= 60          m2= 84          m3= 108                     4-influence de la raideur k  , m constant ,  m=m1   raideur k k(N,m-1) T0(s)       k1=  18         k2=  9.6         k3=  4.9

Lien vers le tableur d’exploitation :« oscillateur harmonique »

Oscillateur harmonique: tableur d'exploitation

7-exploitation des mesures :

Dire si tous les paramètres influent sur To.

Peut-on proposer une relation de dépendance entre To et m. puis entre To et k ?.

 

III- Etude théorique :

 

L’application de la 2^ème loi de Newton

En l’absence de frottement les forces P et R se compensent.

Et ,l’expression de la force élastique :

permettent d’obtenir l’équation différentielle :

md²x/dt² + k.x = 0

de solution sinusoïdale : x(t)=Xm.cos(t +) (=pulsation propre)

avec ²=k/m .

Sa période est : T=2/

 

 

 

Dans ce cas l’oscillateur est qualifié d’ « harmonique ».

(k est ici la raideur équivalente du système de ressort)

 

Etude de la dimension de To

 

Grandeur physique Dimension de la grandeur Position x [x]=L Vitesse  v=d/t [v]=L.T-1 Accélération a=v/t [a]=L.T-2. Raideur k=F/x=m.a/x [k]=M.L.T-2/L=M.T-2 Période To=2..m1/2.k1/2 [To]=1.M1/2.(M.T-2)1/2=T

 

L’analyse dimensionnelle montre que cette expression de To a bien la dimension d’un temps, ce qui conforte sa validité.

 

IV- Vérifier l’accord entre l’étude expérimentale et l’étude théorique.

 

 

 

Commentaires et réponses à quelques questions posées dans la partie expérimentale

 

 

1-choix des paramètres :

Les élèves proposeront certainement : la raideur k (équivalente des ressorts), l’amplitude Xm des oscillations, la masse m qui tend à s’opposer à la variation du mouvement.

 

2-Mesure des raideurs :

Mettre en place les ressorts et le mobile sur le banc, actionner la soufflerie et tirer horizontalement sur l’équipage en posant une surcharge sur le plateau. Mesurer l’allongement l et la surcharge m puis en déduire les valeurs de k du système de ressort.

 

6-Exploitation des mesures :

Que pouvons-nous conclure ou ne pas conclure suite à ces résultats de mesure ?

- To semble indépendante de l’amplitude.(l’incertitude des mesures de To laisse planer un doute et ne permet pas de l’affirmer avec certitude.).Il y a toujours des différences entre les résultats de mesures, reste à savoir si elles sont significatives ou non.

-To augmente avec m (k restant constant).Créons une colonne supplémentaire pour calculer To/m .Cette expression n’est pas constante, il n’y a donc pas proportionnalité entre To et m.

-To diminue lorsque k augmente (m restant constant).mais Toxk n’est pas constant, il n’y a donc pas proportionnalité entre To et 1/k.

A ce stade de l’étude, recherchons un modèle mathématique de To pour affiner la recherche.

 

 

IV La formule théorique est-elle en accord avec les résultats expérimentaux ?

Cette formule indique que To ne dépend pas de l’amplitude ce qui est assez bien vérifié par l’expérience.

Calculons l’expression To²/m dans le tableau « influence de m », elle est constante aux incertitudes prés.

Calculons l’expression : To².k dans le tableau « influence de k », elle est sensiblement constante.

Vérifions ensuite que l’expression : To².k/4m donne une valeur proche de 10.(valeur égale en théorie à ²)pour plusieurs lignes du tableau

 

Utiliser 2 colonnes supplémentaires du tableau pour faire ces vérifications comme l’indique le document ci-dessous..

 

 

Il est facile aussi tracer le graphe T_o²=f(m)

Comme nous le voyons sur le doc. Ci-dessous les points s’alignent bien.Il y’a donc proportionnalité entre To et la racine de m.

Evaluer le coefficient directeur qui doit être égal à 4²/k .

 

 

 

 

V- Utilisation d’une simulation :

Cette page du tableur permet de tracer l’équation horaire x(t) avec ou sans amortissement . Elle permet d’étudier rapidement l’influence des différents paramètres et à ce titre prolonge l’étude expérimentale.

oscillateur horizontal:simulation