1 Oscillateur mécanique

 

1.a -     Le système étudié est le solide (S) dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Trois forces agissent sur (S):

            - le poids

            - la réaction normale du support , verticale et vers le haut car le solide glisse sans            frottement

            - la force de rappel du ressort  telle que:           = – k.x. ,  où x est l'abscisse du centre d'inertie G du solide.

 

Les trois forces sont représentées au point G:

 

 

1.b -    En utilisant la deuxième loi de Newton appliquée au solide (S),
  ,on a:              +  +  = m.

En projection sur l'axe (O), il vient:

0 + 0 – k.x = m.a_x

or:        a_x =

donc:               m. + k.x = 0

 

1.c -    Si x(t) = A.cos(2+ j) est une solution, elle doit vérifier l'équation différentielle:

= – A..sin(2+ )

= – A..cos(2+ ) = –.x(t)

En reportant dans l'équation différentielle:

–m. .x(t) + k.x(t) = 0

x(t). [– m. + k] = 0

 

 

 

Û En excluant la solution x(t) = 0 (position d'équilibre) il vient:

[k – m. ] = 0

k = m.

T ² =

finalement:      T =

x(t) est solution de l'équation différentielle si T = .

 

· La relation T ² =   montre que le rapport  est homogène au carré d'une durée.

Donc le rapport  s'exprime en s².

· T est la période propre de l'oscillateur mécanique.

 

Application numérique:          T =

T = 2p ´

T = 0,63 s

 

1.d -    Les conditions initiales sont:  x(0) = X_o  = + 4,0 cm et v_x(0) = 0 m.s^-1.

 

x(0) = X_o = A.cos(j)

v_x(0) = 0 = = – A..sin() Û sin() = 0    Û  = 0 ou = p

Or à t = 0 X_o >0   donc en supposant A > 0 il faut que cos() > 0 : la seule solution possible est alors: = 0  (car cos() = – 1)

 

Et si = 0  alors X_o = A   ( car cos(0) = 1).

 

Finalement:                                        x(t) =   X_o.cos(2)

2 Oscillateur électrique

2.a – En identifiant les deux équations différentielles on peut faire les correspondances suivantes entre les grandeurs mécanique et électrique:

 

 

Et comme i(t) = , la grandeur mécanique correspondant à l'intensité instantanée est  soit la vitesse instantanée:  v_x =

2.b - En utilisant les similitudes entre les équations différentielles et les conditions initiales, on peut écrire:

            x(t) =   X_o.cos(2)                     pour l'oscillateur mécanique

            q(t) =   Q_o.cos(2)                   pour l'oscillateur électrique

 

D'autre part pour les périodes propres:

T =                                     pour l'oscillateur mécanique

T' =                                    pour l'oscillateur électrique

 

En effet: m Û L et  1 / k Û C.

Application numérique:          T ' = 2 ´ ´

Donc                           T ' = 6,3.10^–3  s = 6,3 ms

 

3.- Graphes x(t) et q(t):         

x(t) =X₀.cos(2)                 soit      x(t) = 4,0 cos (2t/0,63)         avec x exprimée en cm et t en s

 

 

 

q(t) = Q₀.cos(2)            soit q(t) = 10^–4cos(2t/6,3) avec t en ms

                                               ou q(t) = 100 cos((2t/6,3) avec t en ms et q en µC.

 

 

 

4 -        Les oscillateurs réels ne sont pas idéaux. En effet il existe toujours des effets dissipatifs d'énergie.

            Pour l'oscillateur mécanique, il faut tenir compte des forces de frottement :

                        - solide de (S) sur le support

                        - fluide de (S) avec l'air.

            Une partie de l'énergie mécanique est alors dissipée sous forme de chaleur à cause des frottements.

 

            Pour l'oscillateur électrique, la résistance de la bobine n'est pas nulle (elle vaut quelques ohms): une partie de l'énergie électromagnétique stockée dans la bobine est dissipée sous forme de chaleur par effet Joule.