Problèmes à résoudre :oscillateurs mécaniques

Source :http://www.chimix.com

Sujet 1 :

Dans un plan horizontal, on considère un système oscillant formé d'un mobile autoporteur lié à deux points fixes par l'intermédiaire de deux ressorts élastiques identiques, de masses négligeables, et de même axe. Le système, initialement au repos, est écarté de sa position d'équilibre en déplaçant le centre d'inertie G du mobile le long de l'axe des deux ressorts. L'ensemble des deux ressorts est équivalent à un ressort de constante de raideur k = 15,4 N.m^-1.

rappel : l'élongation y d'un oscillateur linéaire sans amortissement satisfait à l'équation différentielle : y"+w²y =0, dont les solutions y(t) sont sinusoïdales, de pulsation w.

Une table à numériser permet la détermination des positions successives y de G dans un repère lié à la table ; la trajectoire de G est portée par l'axe y' y . Un logiciel de traitement de données permet d'afficher les points correspondant aux couples (t, y), (t,), ou toute autre fonction souhaitée, et d'en représenter les courbes.

1. Dans toute cette partie, le mobile a pour masse m = 220 g et le système considéré est non amorti.

• . La figure ci dessous représente l'ensemble des points d'enregistrement (t, y). Ces points se situent sur une courbe d'allure sinusoïdale. Déterminer graphiquement la valeur de la période T et de l’élongation maximale Ym de y. A partir de la valeur de T, calculer la pulsation de  cet oscillateur.

• La courbe ci dessous, représente les couples (y, y" ). Montrer que ce graphique est en accord avec l'équation différentielle proposée. Que représente le coefficient directeur de la droite support de cet ensemble de points ? Déterminer graphiquement sa valeur et en déduire l'ordre de grandeur de la pulsation de l'oscillateur.

• Les valeurs expérimentales de la pulsation déterminées ci dessus sont-elles compatibles avec la valeur théorique de la pulsation propre w₀ de cet oscillateur ?

• . Ecrire la relation de conservation de l'énergie E pour un oscillateur se déplaçant en translation, sans frottement. Montrer qu'elle peut s'écrire y'² / w₀ ² +y² =C, où C est une constante qui s'exprime en, fonction de E et de k. Exprimer C en fonction de Ym et calculer sa valeur.

• Pour traduire la conservation de l'énergie de l'oscillateur sur un graphe, on peut utiliser les représentations des couples :(t,E) ou (y², y'² / w₀ ²). Reporter sur votre feuille les deux représentations choisies parmi les trois proposées, en précisant les grandeurs portées sur les axes.

2. Les ressorts étant inchangés, un dispositif d'amortissement est désormais fixé sur le mobile. On réalise un nouvel enregistrement, représenté ci dessous.

En utilisant deux valeurs consécutives de la valeur maximale de y, donner un ordre de grandeur du pourcentage de l'énergie perdue par l'oscillateur au cours d'une période. Quelles sont les causes physiques de la dissipation ?

Sujet 2 :

Dans tout l'exercice, on prendra g = 10 m / s². On négligera les frottements. On utilise un ressort de masse négligeable, à spires non jointives.
1. Etude préalable du ressort

Pour déterminer la raideur k d'un ressort, on accroche une de ses extrémités à un support fixe. Lorsqu'on accroche une masse marquée m = 200 g à son autre extrémité, son allongement vaut 10,0 cm.

Vérifier que la raideur du ressort vaut 20,0 N.m ^{- 1}.

En utilisant le théorème du centre d'inertie, justifier que la raideur peut aussi s'exprimer en kg/s².

En quelle unité la quantité racine carrée (m /k )s'exprime-t-elle ?

2. Etude d'un oscillateur élastique

On fixe maintenant le ressort étudié comme l'indique la figure ci dessous. Le ressort est horizontal ; une de ses extrémités est fixe. On accroche à son autre extrémité un solide (S) masse m = 200 g. Ce solide peut se déplacer sans frottement le long d'un axe horizontal Ox. À l'équilibre, le centre G du solide coïncide avec l'origine 0 du repère. Etablir l'équation différentielle qui régit le mouvement de G.

1. En déduire l'expression de la pulsation propre w₀ de cet oscillateur et celle de sa période propre T₀. Calculer numériquement w₀ et T₀.
2. Vérifier que, quelles que soient les valeurs de Xm et j, l'équation horaire

x (t) = Xm cos (w₀ t + j) est solution de l'équation différentielle précédente.

3. On comprime le ressort vers la gauche. Le point G occupe alors la position Go telle que OGo = - 0,15 m. À l'instant t = 0, on lâche le solide sans vitesse initiale. Déterminer l'amplitude Xm et la phase j du mouvement, ainsi que l'expression de la vitesse v (t) du solide. En déduire la valeur maximale de la vitesse.
4. Définir et exprimer l'énergie mécanique de cet oscillateur non amorti. Calculer sa valeur à l'instant t = 0. (On prendra l'énergie potentielle du ressort nulle lorsque x = 0).
5. En admettant et en utilisant la conservation de cette énergie mécanique, retrouver la valeur maximale de la vitesse du solide.

CORRECTIONS