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On considère les deux oscillateurs idéaux suivants (voir figures A et B ci-dessus) :

·         un circuit électrique comprenant :

- une bobine d'inductance L et de résistance négligeable

- un condensateur de capacité C et d'armatures A et B

- un interrupteur.

 

Les conventions d'orientation sont telles que l'intensité du courant est , q(t) étant la
charge instantanée du condensateur, c'est-à-dire celle de l'armature A.

Les conditions initiales du fonctionnement sont les suivantes:  à t négatif ou nul, l'interrupteur
est ouvert et le condensateur porte la charge q(0) = Q_o; à t = 0, on ferme l'interrupteur.

On donne L= 0,10 H ; C = 10,0 µF et Q_o = 10^–4 C.

 

 

·         un système {solide - ressort} horizontal comprenant :

- un solide (S), de masse m et de centre d'inertie G, glissant sans frottement dans la
direction de l'axe O horizontal et d'origine O (voir Figure B) : si (S) est au repos, G est
en O ; à un instant quelconque, G est repéré par son abscisse x

- un ressort à spires non jointives de raideur k, de masse négligeable, dont l'une des extrémités est attachée à (S) et l'autre fixée rigidement à un support.

 

Les conditions initiales choisies sont les suivantes: à l'instant  t = 0, la position du centre
d'inertie du solide vaut X_o et sa vitesse v_x est nulle.

 

On donne le rapport  =1,0.10^–2 S.I. et   X_o = + 4,0 cm.

 

1 Oscillateur mécanique

 

On admet que l'équation différentielle vérifiée par x(t) est  où  désigne
la dérivée seconde par rapport au temps de la fonction x(t).

 

1.a -     Faire le bilan des forces agissant sur (S). Les représenter sur un schéma.

 

1.b -     Retrouver l'équation différentielle du mouvement en précisant la loi physique utilisée.

 

1.c -     Quelles que soient les valeurs de A et , vérifier que x = A.cos(2+ ) est solution
de l'équation différentielle précédente si T a une valeur fonction de k et m dont on donnera l'expression.

Quelle est l'unité du rapport  ?

Comment appelle-t-on T ? Quelle est sa valeur numérique ?

 

1.d -     En prenant en compte les conditions initiales du début de l'énoncé, montrer que A = X_o

            et = 0.

 

 

2 Oscillateur électrique

On admet que l'équation différentielle vérifiée par la charge q(t) est:

 

On utilise de façon systématique la comparaison entre les deux équations différentielles.

 

2.a - Quelle est la grandeur mécanique correspondant à l'intensité instantanée du courant
i(t) ?

Quelles sont les grandeurs électriques correspondant respectivement à la raideur du ressort et à la masse du solide (S) ?

 

2.b - En utilisant les similitudes entre les équations différentielles et les conditions initiales, montrer que la charge instantanée du condensateur est q(t) = Q_o.cos(2).

Donner l'expression de T' en fonction des caractéristiques des composants du circuit. Calculer numériquement T'.

 

3.-        Représenter sur deux schémas différents les fonctions x(t) et q(t). Le dessin fait pour t variant de 0 à 2T (ou 2T') peut être approximatif mais on aura soin de bien préciser les points importants: situation à l'origine des temps, extréma, passage par la valeur nulle.

 

4 -        Les oscillateurs réels ne sont pas idéaux. Pourquoi ? Quels sont les phénomènes physiques responsables ?    

Oscillateur harmonique:analogie électromécanique;corrigé