Correction détaillée bacc D 2001
Série D 2001.Problème de physique
Corrigé avec rappel de l’énoncé
(Les lettres en caractères gras désignent des vecteurs)
On considère un disque plein, homogène, de masse M = 500g, de rayon R = 20 cm et de centre C.
1.- Le disque peut osciller, dans un plan vertical, autour d’un axe horizontal fixe (D), perpendiculaire à son plan et passant par un point O de sa circonférence. Au point B diamétralement opposé à O, on fixe un corps ponctuel (S), de masse m =M/2 (voir figure 1).
Montrer que :
a. la distance du centre d’inertie G du système {disque + corps (S)} à l’axe (D) est OG = a =4R/3. (1,00 pt)
G est barycentre des points C(M) et B(m), soit :
Les vecteurs ayant même direction et même sens (voir figure ci-dessus), la longueur OG s’écrit donc :
b. le moment d’inertie du système {disque + corps (S)} par rapport à l’axe (D) est
JD = 7 mR2. (1,00 pt)
Calcul du moment d’inertie du système, en tenant compte du théorème de Huyghens:
Et comme : M=2m
2.- Le système {disque + corps (S)} constitue un pendule composé. On considère les oscillations de faible amplitude autour de l’axe (D) de ce pendule. Calculer la longueur l du pendule simple synchrone de ce pendule composé. (1,50 pt)
Le système de poids total P =(M+m)g, écarté de sa position d’équilibre, est schématisé ci-dessous.
Le sens positif de rotation étant choisi, écrivons le théorème de l’accélération angulaire pour un angle q petit:
Le signe « moins » se justifie car le moment de P est toujours de signe contraire à celui de q.
Soit en simplifiant par M, on obtient l’équation différentielle du mouvement de l’oscillateur :
Remarque :
Avant d’aller plus loin, il est important de vérifier l’homogénéité de la formule !
Les deux termes de l’équation différentielle ont la même unité SI soit: m.rad.s-2
L’équation différentielle est celle d’un oscillateur harmonique de pulsation w et de période T, avec :
Le pendule simple de longueur l synchrone du pendule composé doit vérifier :
3.- On enlève le corps (S). On fait tourner le disque, seul, à l’aide d’un moteur. Lorsque le disque atteint la vitesse de rotation égale à 300 tours par minute, on arrête le moteur et on applique sur le disque un couple de freinage de moment M f constant. Il s’arrête après avoir effectué 250 tours, comptés à partir de l’arrêt du moteur.
a. Calculer M f . (1,00 pt)
Le disque tourne cette fois sans surcharge autour de son axe D’
(Le moment de la force tend à s’opposer au mouvement de rotation dans le sens choisi positif d’où le signe négatif devant Mf)
Mf étant constant, le mouvement de rotation est uniformément varié d’accélération :
En intégrant, cette relation par rapport au temps, nous trouvons :
La vitesse angulaire :
w(t) est donc une fonction affine décroissante de pente : –Mf/JD
Une nouvelle intégration permet d’obtenir q :
Les équations 1,2 et3 dépendantes du temps sont celles définissant un mouvement uniformément varié.
Pour trouver Mf, nous devons établir une quatriéme équation, celle que l’on obtient en éliminant t entre les deux équations 2 et 3
Nous tirons t de l’équation 2 et reportons son expression dans la troisième.
Après simplification on obtient :
Remarque : cette relation est formellement identique à celle obtenue lors d’un mouvement rectiligne uniformément varié. Il suffit de remplacer w par v , q par x, et l’accélération angulaire par l’accélération :
L’équation 4 est l’équation indépendante du temps caractérisant un mouvement uniformément varié.
On a représenté, ci-dessous l’aspect des graphes de la vitesse angulaire et de l’écart angulaire (non exigé)
A l’instant de l’arrêt du disque, w=0 et q= q max=250.2.p=500p=1570rad
Là encore il est prudent de vérifier l’homogénéité des cette formule !
Le terme littéral ci-dessus possède l’unité : (s-1)2.kg.m2.=s-2.kg.m2
Par ailleurs, une force a la dimension d’une accélération par une masse, son unité est le newton (N) qui est équivalent à : m.s-2.kg
Ainsi : on trouve que l’unité de Mf est : N.m ce qui est bien l’unité d’un moment !
b. Calculer la durée de cette phase d’arrêt du disque. (0,50 pt)
Il suffit de poser w(t)=0 dans l’équation 2 de la vitesse angulaire.
