Dynamique du solide en rotation.

Note : les symboles en caractère gras désignent des vecteurs.

 

1-Produit vectoriel de deux vecteurs :

Le produit vectoriel des 2 vecteurs V₁ et V₂ est un vecteur V₃ noté :

et ayant les caractéristiques suivantes :

Direction : perpendiculaire au plan qui contient V₁ et V₂

Sens :il est tel que le trièdre :V₁,V₂,V₃ soit direct.(*)

Sa norme est :  

(*) le sens est donné par la « règle de la main droite » : le trièdre est direct si l’index de la main droite correspondant à V₁, le majeur à V₂, le pouce correspond à V₃.

Exemple d’utilisation en physique : le moment d’une force M.

Le vecteur moment est perpendiculaire au plan contenant r et F, il est orienté comme l’indique la figure ci-dessus et sa valeur est :

M(_F/D)= r. F. sina = b. F

 

2-Solide en rotation autour d’un axe fixe :

Considérons un solide quelconque en rotation autour de l’axe D.

Tous les points matériels du solide comme P de masse m_i ont un mouvement circulaire de rayon r_i dont le centre est sur l’axe D.

 

 

 

 

 

 

 

a-Moment cinétique élémentaire : c’est le moment par rapport à l’axe D de la quantité de mouvement mi.V. du point P.

 

 

puisque V_P=w.r_i . w est la vitesse angulaire du solide à la date t.

b-Le moment  cinétique du solide à la date t est :

En valeur algébrique

L = J_D.w

J_Dest une grandeur qui caractérise la répartition de masse autour de l’axe D du solide, c’est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation.

L’unité SI de moment d’inertie est kg.m².

c-Moments d’inertie d’objets courants :

Tous les solides considérés ci-dessous sont supposés homogènes, de masse linéïque, surfacique ou volumique ρ.

 

Tige de longueur L et de masse m

 

Cercle de rayon R et de masse m

 

Disque plein de rayon R et de masse m

 

Sphère creuse de rayon R et de masse m

 

Sphère pleine de rayon R et de masse m

 

d-étude dynamique de la rotation:

 

La dérivée par rapport à t de L, donne, d’une part :

 

En effet le 1^er terme de la somme entre crochet est nul car la dérivée de r est colinéaire à V, et le produit vectoriel de 2 vecteurs colinéaires est nul.

Enfin la dérivée par rapport à t de la vitesse n’est autre que l’accélération a du point P.

On obtient un résultat connu sous le nom de « théorème du moment cinétique » à savoir :

la dérivée du moment cinétique est égale à la somme des moments des forces extérieures appliquées au solide.

 

Et d’autre part, si l’on considère l’expression de L en fonction du moment d’inertie :

 

Où dw/dt est l’accélération angulaire instantanée du solide.

 

On obtient le théorème de l’accélération angulaire (relation ici algébrique):

La somme des moments des forces extérieures appliquées est égale au produit du moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation par son accélération angulaire.

 

Cette relation est à comparer à  :       pour un solide en translation.

 

Remarque : Un mouvement au sens le plus général peut être considéré à chaque instant comme la superposition d’une translation et d’une rotation autour d’un axe.(par exemple le mouvement d’une bille sur un plan incliné) Pour résoudre les équations du mouvement, les 2 équations encadrées si dessus sont nécessaires.

Dans le cas d’une rotation autour d’un axe fixe, la première relation suffit. 

 

e/ cas particulier du mouvement de rotation uniforme :

Si le mouvement est circulaire et uniforme (la vitesse angulaire est constante): l’accélération angulaire est nulle et donc la somme algébrique des moments appliquées au solide est nulle également.

 

la constante pouvant être nulle (cas particulier de l’équilibre) .

 

Cette relation est analogue à celle en translation: