ETUDE DE LA MISE SUR ORBITE D’UN SATELLITE

La loi de la gravitation universelle de Newton, est celle selon laquelle deux points matériels de masse m₁ et m₂, situé à une distance r l’un de l’autre, s’attirent mutuellement avec des forces directement opposées dont l’intensité commune F est donnée par la relation :

$\mathrm{ \; F}=G.\frac{m_1.m_2}{r^2}$

La constante de gravitation universelle, a pour valeur $G=\mathrm{6,7}.{10}^{-11}$ (en unité SI)

Hypothèses : La terre sera considérée comme une sphère homogène de masse $\mu =\mathrm{6,0}.{10}^{24}kg$ et de rayon $R=\mathrm{6,4}.{10}^{6}m$ ; elle se comporte alors pour le phénomène de gravitation universelle comme un point confondu avec son centre d’inertie dans lequel est concentré toute sa masse. Elle est dépourvue d’atmosphère et effectue une rotation complète sur elle-même en T=86400s.

Les dimensions du satellite seront négligées devant la distance entre le centre de la Terre et le satellite.

On ne tiendra pas compte de l’action du Soleil et des autres planètes.

On désire placer sur une orbite terrestre un satellite de masse m=500g, à l’aide d’une fusée dont la masse, y compris celle du satellite, est M.

1°) Calculer l’accélération g₀ de la pesanteur à l’altitude O. Et montrer que l’accélération g en un point situé à l’altitude h est

$\mathrm{ \; g}=g_0.\frac{R^2}{{(R+h)}^2}$

2°) A partir du travail des forces intérieures au système {Terre-satellite}, montrer que l’énergie potentielle de pesanteur peut se mettre sous la forme :

$E_p=-G\frac{\mu .m}{r}$

Où r représente la distance ( centre de la terre – satellite ), si l’on choisit de considérer cette énergie comme nulle lorsque le satellite est infiniment éloigné de la terre.

3°) En déduire quelle doit être la vitesse minimum qu’il faut communiquer au satellite placé au niveau du sol pour qu’il échappe à l’attraction terrestre.

SOLUTION

1°) Calcul de g₀

Le poids d’un corps de masse M est la force d’attraction qui s’exerce entre ce corps et la Terre de masse $\mu$. D’après la loi de gravitation universelle, l’intensité du poids est

$P=G\frac{\mu .M}{R^2} ,$

R étant égal au rayon de la Terre lorsque le corps est à l’altitude zéro d’où :

$P=G\frac{\mu .M}{R^2}=M{g}_0\to g_0=\frac{G\mu }{R^2}$

Application numérique :

Comme G= 6,7.10^-11 ; $\mu =\mathrm{6,0}.{10}^{24}kg$; R=6,4.10⁶m , on a :

 

$g_0=\frac{\mathrm{6,7}.{10}^{-11}.\mathrm{6,0}.{10}^{24}}{{\left(\mathrm{6,4}\right)}^2.{10}^{12}}$ ainsi g₀=9,81m.s^-2 ; d’où la relation :

$\mathit{g}={\mathit{g}}_0\frac{\mathit{R}}{{(\mathit{R}+\mathit{h})}^2}$

Un calcul analogue au précédent montre, en posant r= R+h, que :

$g=G\frac{\mu }{r^2}$

D’où :$g=G\frac{\mu }{R^2}*\frac{R^2}{r^2}$

Soit : $g=g_0*\frac{R^2}{{(R+h)}^2}$

2°) – Energie potentielle de pesanteur du satellite

Projetons sur l’axe Cz :

La projection de $m\overrightarrow{g}$ est $–mg$

La projection de $\overrightarrow{AA\text{'}} est \stackrel{-}{AA\text{'}}=dr, en posant \stackrel{-}{OA}=r$

L’expression du travail devient :

$dw=-mgdr=-m{g}_0\frac{R^2}{r^2}dr$

En supposant g constant pour le déplacement dr.

On sait que le travail des forces de pesanteur soit égal à la diminution de l’énergie de pesanteur (ou à l’opposé de la variation) donc $$

$dw=-d{E}_P$

($pour un petit déplacement dr)$

D’où : $d{E}_P=m{g}_0\frac{R^2}{r^2}dr$

Pour le déplacement de r à l’infini, on a :

${\int }_r^{+\infty }d{E}_P={\int }_r^{+\infty }m{g}_0\frac{R^2}{r^2}dr=>{{(E}_P)}_{\infty }-{\left(E_P\right)}_r=m{g}_0{R}^2(+\frac{1}{r})$

 

${\left(E_P\right)}_{\infty }=0$

Or l’énoncé suppose :

${\left(E_P\right)}_r=-m{g}_0\frac{R^2}{r} ou, comme g_0=G\frac{\mu }{R^2} d^{\text{'}}où {\left({\mathit{E}}_{\mathit{P}}\right)}_{\mathit{r}}=-\mathit{G}\frac{\mathit{m}\mathit{\mu }}{\mathit{r}}$

 

3°) – Vitesse de libération du satellite au niveau du sol.

Le système Terre-Satellite est un système isolé. Son énergie mécanique se conserve donc.

Calculons l’énergie mécanique totale E à l’altitude O, c’est-à-dire pour r = R :

$E={\left(E_C\right)}_{r=R}+{\left(E_P\right)}_{r=R} => E=\frac{1}{2}m{v}_0^2-G\frac{m\mu }{R}$

L’Energie mécanique E’ à l’altitude h c’est-à-dire r=(R+h) :

$E^{\text{'}}={\left(E_c\right)}_{r=R+h}+{\left(E_P\right)}_{r=R+h} =>E^{\text{'}}=\frac{1}{2}m{v}^2-G\frac{m\mu }{R+h}$

La conservation de l’énergie s’exprime par E = E’ soit :

$\frac{1}{2}m{v}_0^2-G\frac{m\mu }{R}=\frac{1}{2}m{v}^2-G\frac{m\mu }{R+h}$

La vitesse $v_0=v_l$ avec laquelle il faudrait lancer du sol le satellite pour qu’il échappe à l’attraction terrestre (vitesse de libération) est obtenue en exprimant que v=0 pour h infinie (si v=0 pour h fini, le satellite retomberait) d’où :

$\frac{1}{2}m{v}_l^2-G\frac{m\mu }{R}=0$

Et par suite :

$v_l^2=2G\frac{\mu m}{R} => v_l=\sqrt{2g_{0}R}$

Application numérique :

$g_0=\mathrm{9,81}m.s^{-1} et R=\mathrm{6,4}*{10}^{6}m$

On a :

$v_l=\sqrt{2*\mathrm{9,81}*\mathrm{6,4}*{10}^6} soit v_l=\mathrm{11,206}m.s^{-1} ou \mathrm{11,206}km.s^{-1}$