TP ETUDE DU MOUVEMENT VERTICAL D’UNE BILLE DANS UN LIQUIDE

 

I-OBJECTIFS :

1-Réaliser l’enregistrement d’un mouvement avec un logiciel de pointage (Avimeca ou Avistep) et exploiter les mesures dans un tableur.

2-Elaborer un modèle mathématique du mouvement à partir des lois de la mécanique.

3-Résoudre l’équation du mouvement par une méthode numérique (méthode non exigible)

3-Confronter les points expérimentaux avec le modèle.

 

 

2-ETUDE EXPERIMENTALE :

Une bille est lâchée sans vitesse initiale dans un liquide visqueux.

 

Pour faire la manipulation, cliquer sur le lien : Dossier vidéo  

 

Dans ce dossier, sélectionner le clip vidéo « 02 chute bille glycérol », et pointer les positions successives de la bille avec le logiciel de pointage « Avimeca »

 

Transférer les données dans le « presse papier » de l’ordinateur.

Ouvrir Excel, classeur « chute dans glycérol », feuille «eleve » et transférer les données expérimentales stockées dans le« presse papier » à l’emplacement désiré dans la feuille de calcul. Faire la représentation graphique de la vitesse au cours du temps.

 

Constater l’existence d’une vitesse limite. Que peut-on dire de la somme vectorielle des forces qui s’exercent sur la bille ; avant et dés que la vitesse limite est atteinte ?

 

 

 

VIDEO « chute dans glycérol »

 

 

LOGICIEL DE POINTAGE « AVIMECA »

 

 

 

 

 

 

TRANSFERT DES VALEURS EXPERIMENTALES ET TRAITEMENT DANS EXCEL…

 

Pour accéder directement au tableur prérempli, cliquer sur le :

Lien vers tableur d'exploitation

III-ETUDE THEORIQUE DU MOUVEMENT :

Une bille est lâchée sans vitesse initiale (vo=0) dans un liquide visqueux.

Nous recherchons une équation qui permette de prévoir comment varie la vitesse du centre d’inertie de la bille au cours du temps.

Le système étudié est la bille, en chute verticale sur la droite x’O x .

Référentiel choisi : le référentiel terrestre considéré galliléen.

Forces exercées sur la bille :

-son poids , de valeur P = m.g = V.g ( est la masse volumique de la bille)

-La poussée d’Archimède , de valeur F = m’.g = ’.V.g

 

-La force de frottement fluide de valeur f=k.v

 

Appliquons la 2^ème loi de Newton :

+ + = m..

Cette relation projetée sur l’axe vertical x’Ox devient :

f_x+F_x +P_x = m a_G           avec f_x=-f ; F_x=F ; P_x=P

 

soit :

 

Cette équation peut s’écrire : avec A=-k/m et B= (m-m’)g/m.

C’est l’équation différentielle du mouvement.

 

Vitesse limite :

Tant que la vitesse augmente, la force de frottement proportionnelle à v augmente, jusqu’à ce que les forces se compensent.

Alors, (m-m’)g = k.v_x et

 

La vitesse atteint alors la valeur limite :

(Remarque : Dans le cas de la chute d’une bille dans l’air la force serait du type f=k.v².)

 

 

 

IV-RESOLUTION DE L’EQUATION PAR UNE METHODE NUMERIQUE (méthode d’Euler):

 

Avertissement : cette méthode ne fait pas partie des connaissances exigibles en TC et TD. Elle intéressera cependant le lecteur qui voudra approfondir les possibilités de l’outil informatique pour résoudre un problème de mécanique. Pour une information plus complète sur la méthode d’Euler, consulter le dossier :

Pratiquer Excel (4). Résolutions numériques d'équations

 

1-Principe :

 

Nous allons décomposer la durée du mouvement en intervalle de temps élémentaires t aussi petits que possible.

 

 

Connaissant la valeur de la vitesse et de l’accélération (dv/dt) à la date t_i , il est possible d’estimer la valeur de v à une date ultérieure t_i+1 en supposant la dérivée (dv/dt) constante dans l’intervalle t=t_i+1 –t_i.

 

à la date t_i+1 : v_i+1= v_i+ (dv/dt)_ti . t (égalité proche)

 

 

On calcule alors la nouvelle valeur de (dv/dt)_ti+1 par application de la relation

(dv/dt)_ti+1 = A+ B . v_i+1

(relation en accord avec de l’équation différentielle du mouvement)

à la date t_i+2 : v_i+2=v_i+1+(dv/dt)_ti+1 . t.

Etc…

 

La méthode est d’autant plus précise que le pas d’itérationt est petit.

Un programme en boucle dans Excel permettra de faire ces calculs très rapidement.

 

2-Mise en œuvre de la méthode d’Euler dans Excel (voir copie page d’écran ci-dessous)

 

 

On complétera la feuille de calcul « eleve » préremplie .

 

Deux types d’informations sont à renseigner :

-les données qui concernent l’objet, le fluide et les conditions initiales du mouvement sont à introduire dans les cellules orangées.

 

-les formules de calcul dans les cellules de couleur bleue.

 

 

 

Les formules de calcul à rentrer :

En D6 =3*PI()*$C$6*$B$6*0.001 A10 =9.8*(1-$F$6/$E$6) B10 =-$D$6/($A$6*0.001) F10 =$L$2*0.001 A13 =$C$10 B13 =$E$10 C13 =$A$10+$B$10*B13 A14 =$F$10+A13 B14 =B13+C13*$F$10

 

Remarque : pour entrer une adresse absolue($), cliquer sur la cellule correspondante suivie de la touche F4.

 

Réaliser une barre de défilement permettant de faire varier de façon continue t . Pour cela cliquer droit avec la souris en dehors de la feuille de calcul et choisir la barre « formulaires ».Choisir l’icône « barre de défilement ».Etendre l’icône sur les cellules H2 I2, J2, K2 comme indiqué sur la copie d’écran ci-dessus.

Cliquer droit sur l’icône et sélectionner « format de contrôle » .Remplir la rubrique « contrôle »: valeur mini :1 ; valeur maxi :150 ; pas :1 ;cellule de contrôle :L2.

 

Tracer le graphe v_euler en fonction du temps .Constater que le tracé de la courbe est plus précis pour les valeurs de t les plus faibles.

 

 

V- EXPLOITATION :

Confronter le modèle théorique et l’étude expérimentale : choisir k pour faire coïncider au mieux les deux courbes théorique et expérimentale (fig1).

Utiliser le modèle théorique pour observer l’influence des différents paramètres sur le mouvement :

masse de la bille , masse volumique du liquide. On pourra ajouter une colonne dans Excel pour évaluer la valeur de l’accélération du mouvement de la bille. En cas d’absence de frottement (k=0) et de masse volumique du fluide nulle, on vérifiera que l’on retrouve le mouvement de chute libre avec accélération constante égale à g .

 

 

 

 

FIG1