OSCILLATIONS ELECTRIQUES FORCEES, RESONANCE.

 

Un circuit oscillant doit recevoir de l’énergie pour entretenir les oscillations qu’il génère. Une solution est de le coupler à un oscillateur extérieur de fréquence réglable. Ce type d’oscillations couplées est un modèle fréquemment rencontré en électricité mais aussi en mécanique. Il permet d’introduire la notion très importante de résonance et du facteur de puissance d’une ligne électrique. 

A la fin de ce document, l’accès à une  simulation permet au lecteur de modifier à volonté tous les paramètres et de noter leur influence sur le comportement de l’oscillateur.   

 

 

I- ETUDE EXPERIMENTALE  DU DIPOLE RLC SERIE :

a/ montage :

 Il comprend : (schéma ci-dessous)

Un générateur G  qui délivre une tension alternative sinusoïdale u_G aux bornes du dipôle R L C.

Pour observer les variations des tension et intensité, le circuit doit être connecté aux voies 1 et 2 d’un oscilloscope bicourbe.

Un ampèremètre enregistre la valeur efficace I de l’intensité du courant dans le circuit. 

Un voltmètre mesure la tension efficace U aux bornes de l’ensemble.

Pour ce premier montage, on prendra : R=400 ; L=0.65H ; C=4F.

 

 

b/ notion d’impédance Z du circuit :

Pour une fréquence N=500Hz imposée par le générateur,le relevé des valeurs efficaces de la tension U aux bornes du dipôle RLC et de l’intensité qui le traverse permet de dresser le tableau :

U(V)	8.74	7.66	6.54	5.43	4.33	3.26	2.17	1.11
I(mA)	4	3.5	3	2.5	2	1.5	1	0.5
Calcul :U/I (V/A)	2185	2188	2180	2172	2165	2173	2170	2220

Le rapport U/I, sensiblement constant, définit l’impédance Z du dipôle RLC ,mesurée en ohms.

Impédance : Z=          unités SI :  U(V)  ,I (A) , Z(W)

 

Sa valeur est distincte de celle de la résistance du dipôle : Z=2220  et R=410.

 

On constate que pour d’autres valeurs de la fréquence N, le rapport U/I est modifié mais reste toujours supérieur ou égal à 410.

 

Z>=R  et Z dépend de la fréquence.

 

c/ Tracé de la courbe de réponse en intensité  I=f(N) :

Pour une tension efficace U constante égale à 12,0V  et une fréquence variant de 20 à 250Hz, on a relevé les valeurs de  l’intensité efficace I  pour deux valeurs de R égales à 40 puis 400W.

On obtient les deux graphes suivants :

 R=40

R=400

Ce type de courbe en cloche est observé aussi en mécanique. Il s’agit ici d’une résonance d’intensité.

 

L’intensité efficace prend une valeur maximale Io pour une fréquence voisine de N=100Hz c'est-à-dire la fréquence propre de l’oscillateur libre (supposé sans résistance).

 

Pour R=40, la courbe est très pointue ; Io= 270mA, on dit que la résonance est aigüe.

 

Pour R=400, la courbe s’aplatit et Io= 30mA, la résonance est dite floue.

 

L’impédance Z varie avec la fréquence et  sa valeur est minimale à la résonance :

           Pour R= 40,    Z  =  U/Io  =  12V /0.270A   = 40    =   R

 

Ainsi, à la résonance, l’impédance est égale à la résistance .

 

 

d/ observations à l’oscillographe :

 Les paramètres du circuit sont : U=12V, R=40 ;  L=0.65H et C=4F

Sur l’écran de l’oscilloscope il est possible d’observer simultanément:

-la tension aux bornes de la résistance u_R(t) .(comme celle-ci est proportionnelle à  i (car u_R=R.i), elle nous donne sur l’écran de l’oscilloscope l’évolution de l’intensité i(t) à une constante multiplicative prés. Sur le graphe ci-dessous l’ordinateur a tracé directement i(t))

-la tension u(t) aux bornes de l’ensemble du dipôle R L C .

 

 

 

 

a- Pour N=50Hz , on obtient les 2 courbes suivantes :

 

 

 

 

 

Observations : l’intensité i(t) est sinusoïdale et de période T=0.02s (N=50Hz) égale à celle de la tension u(t) imposée par le générateur.

La tension u (t) est déphasée par rapport à i(t) ; plus précisément elle est en  retard de phase sur i(t) .Ce retard peut être estimé à t = 0.005s = 5ms.

 

b- Pour N=100Hz, u(t) et i(t) sont en phase et l’amplitude de l’intensité passe par un maximum

ce qui est en accord avec la courbe de réponse  observée avant. C’est la résonance d’intensité.

 

 

 

c/ Pour N=150Hz, on obtient les deux courbes :

 

 

Cette fois u(t) est en avance de phase sur i(t).

 

Dans tous les cas la fréquence des oscillations du courant dans le circuit RLC est celle du générateur .Celui-ci impose sa fréquence au circuit , c’est le régime d’oscillations forcées .

 

 

II MODELISATION DU CICUIT R L C série :

pour voir  la représentation d’une fonction sinusoïdale, voir

le fichier sinusoidal.xls

 

1-Loi d’ additivité des tensions :

Elle s’écrit :                      

Et comme : 

2-Usage des nombres complexes :

On choisit arbitrairement pour i(t) une fonction sinusoïdale du temps dont la phase à l’origine est nulle : i(t) =  I_Mcost. Ce choix permet d’établir les correspondances suivantes :

 

Grandeur algébrique	Nombre complexe associé
i(t)	[i]=IM
	j.w[i]  =   j w IM.
u(t)	[u]=UM.ejf

 

Elles permettent d’écrire la loi d’additivité en écriture complexe :

 

         

 

Le nombre complexe [z] (impédance complexe) permet le calcul de l’impédance Z du dipôle R L C  et du déphasage entre u(t) et i(t)  .

 

Z est le module du nombre complexe soit :

 

L’argument du nombre complexe est ; il est tel que

    ;       ;

 

Ces résultats théoriques confirment les résultats expérimentaux précédents à savoir :

 

a-      ,

 l’effet capacitif l’emporte sur l’effet de l’inductance de la bobine (voir fig1,la construction de Fresnel du circuit); tan <0 ; <0  et u(t) est en retard sur i(t).

 

 

 

b-    ,

L’effet inductif  l’emporte sur l’effet capacitif (fig 2);

Tan>0 ; >0  et u(t) est en avance sur i(t).

 

 

 

c-    l’effet capacitif  compense l’effet inductif ;tan=0 ;=0 (fig3)et i(t) et u(t) sont  en phase. ;    c’est la résonance d’intensité.

Alors Z est minimum et égale à R, et le déphasage entre u et i(t) est nul 

 (voir graphe de Z et ci-dessous )

 

 

 

A la résonance, la fréquence N imposée par le générateur est égale à la fréquence propre de l’oscillateur ; on a la relation : LC _o²=1 avec ₀=pulsation de résonance.

 

 

A la résonance l’impédance complexe est égale à R ; elle est donc réelle.

 

Remarque : les tensions aux bornes du condensateur et de la bobine peuvent être très grande à la résonance. Il y a risque de surtension .

 

III ETUDE ENERGETIQUE:

 

1-Expression de la puissance instantanée:

p(t)= u(t)*i(t)= Um.cos(t+)*Im.cos.t=(Um.Im./2 )[cos.+cos(2t+)]

p(t)= U.I.[cos +cos(2.w.t+)]  (voir graphe de p(t) en pointillé ci-dessous)

 

 

2-Puissance moyenne :

p(t) est la somme d’un terme constant et d’un terme sinusoîdal de période moitié de celles de la tension et de l’intensité.

La valeur moyenne du terme périodique est nulle  .

Finalement la puissance moyenne est   : P_moy=U.I.cos.

Le terme cos s’appelle facteur de puissance du circuit

 

 

Le produit U.I est souvent appelé « puissance apparente » (unité SI: V.A)

Il est plus intéressant de connaître la puissance moyenne, car celle- ci permet de mesurer l’énergie reçue par le dipôle pendant t : W=P.moy.t .(L’énergie correspond à l’intégrale entre o et t de p(t))

Sur le graphe ci-dessus Pmoy est une droite parallèle à t dessinée  par des croix.

 

Comme cos= R/Z et  U=Z.I ,  P_moy=R.I².,expression qui n’est autre que la « puissance Joule ».Cela veut dire que la puissance moyenne reçue est transformée intégralement en puissance calorifique dans la résistance du circuit. En régime d’oscillations forcées, le générateur apporte de la puissance nécessaire au circuit pour compenser les pertes par effet Joule.

3-Puissance moyenne à la résonance :

A la résonance, f=0 et cos f=1, la puissance consommée est maximum et est égale à la puissance apparente. Cela est logique puisque l’intensité efficace passe alors par un maximum et « l’effet Joule » et maximum.

 

Remarque :Les composants L et C (supposés sans résistance) ne consomment globalement  pas de puissance en moyenne. Les parties L et C échangent de la puissance sans qu’il soit besoin d’en apporter en quantité supplémentaire. L’ensemble L et C fonctionne comme un oscillateur non amorti.

 

4-Importance du facteur de puissance :

L’énergie électrique consommée par  une installation est transportée par une ligne de résistance totale R, traversée par un courant d’intensité efficace I .Si l’installation desservie consomme la puissance moyenne électrique  Pe=U.I.cosf, la puissance  électrique perdue dans la ligne est :

Pe=RI²= R .(Pe/U.cos)².

 

Cette puissance perdue dépend de l’installation électrique de l’utilisateur

Pour minimiser cette perte, le facteur de puissance cos=R/Z de l’installation desservie doit être aussi proche que possible de 1 (soit Z=R). Or, ceci n’est possible que si la tension u et l’intensité sont en phase. L’utilisateur peut agir sur le facteur de puissance, en ajoutant par exemple un condensateur dans l’installation.