FPI

NIVEAU : 1^ère, 2^ème, 3^ème Année BEP

BACC PRO

SECTEUR : INDUSTRIEL

FILIERE : STRUCTURES METALLIQUES

OPTION : METAUX EN FEUILLES

Référence sous module : SMF/T/08-06

Intitulé du sous module : AXES PRINCIPAUX D’UNE SECTION SIMPLE Objectif intermédiaire : A l’issue du sous module de formation, l’apprenant doit être capable de : CONNAITRE la définition des axes principaux d’une section simple.		Réf. : SMF/T/08 - 06
INDEXATION	UNITES DE FORMATION		DUREE
UF/T/08 – 06 – 01 UF/T/08 – 06 – 02 UF/T/08 – 06 – 03	Moment statique Moment quadratique Moment quadratique polaire
TOTAL			10 h

 Remarque: toutes ces notions sont développées dans le document ci-dessous et les suivants.

 Détermination du centre de gravité d’une section

I- MOMENT STATIQUE d’une section :

En résistance des matériaux, le moment statique est une grandeur physique qui caractérise la géométrie d'une section et se définit par rapport à un axe. Il intervient notamment comme ci-dessous dans le calcul de la position du centre de gravité  mais aussi des contraintes de cisaillement (lors d’une flexion). Il a la dimension d'un volume (m³ dans le système international d'unités S.I).

Le moment statique  d'une section de densité homogène, par rapport à un axe  (noté  Q_D )  est égal au produit de l'aire S de cette section par la distance d  de son centre de gravité G à  l'axe.

QD= S.d  (unité SI=mxm²=m³)

Une conséquence importante de cette définition  est que le moment statique d'une section de densité homogène, par rapport à un axe passant par son centre de gravité, est nul.

II- DEFINITIONS : centre de gravité et centre de masse 

Considérons un solide de masse m. Soit à déterminer la position de son centre de gravité G.

Soient X_G , Y_G, Z_G  les coordonnées de G  relatives à un repère rectangulaire Oxyz.

Décomposons le solide en solides élémentaires de masse respective m₁ ,m₂ m₃…et de centre de gravité respectifs : G₁, G₂, G₃  etc…

Par définition G  centre de gravité est le barycentre des poids des solides élémentaires

Ce qui s’écrit en mathématiques:

Le champ de pesanteur étant uniforme pour l’ensemble  du solide, la relation peut être simplifiée en éliminant g :

Ce qui revient à dire que G est aussi le barycentre des masses.

C’est pourquoi G dans ce cas s’appelle aussi : centre de masse.

Remarque : la distinction entre centre de gravité et centre de masse est nécessaire lorsque le solide est plongé dans un champ de pesanteur qui n’est pas uniforme. C’est le cas pour un objet de hauteur très importante car comme on le sait g diminue avec la hauteur. Par exemple pour un édifice de 300m de haut les deux points peuvent être éloignés de quelques mm ! Dans notre étude les deux points sont évidemment confondus et il n’y a donc pas lieu de faire une distinction entre centre de masse et centre de gravité.

III- Formules générales donnant la position du centre de gravité d’une section plane d’aire S d’une poutre :

La section peut être décomposée en éléments de forme géométrique simple (comme ici des rectangles) de section S₁, S₂, S₃ dont les centres de gravité G₁, G₂, G₃…sont connus.

Dans la formule précédente les masses sont remplacées par les sections:

G centre de gravité est le barycentre des différents points G₁, G₂, G₃ …affectés des coefficients S₂, S₂, S₃….

En  appelant X_G  et Y_G  les composantes du vecteur OG, Xi et Yi les composantes des différents vecteurs OG₁, OG₂…etc, on obtient les relations algébriques.

soit

Attention certaines sections  peuvent aussi résulter d’une soustraction d’éléments simples comme nous le verrons dans l’exemple qui suit. C’est pourquoi le terme au numérateur peut être une somme algébrique suivant le choix des éléments..

IV- Position du centre de gravité de quelques sections simples :

Source :http://math.15873.pagespro-orange.fr/page9.htm

 

 

IV- Méthode de détermination du centre de gravité d’une section composée:

Source :http://math.15873.pagespro-orange.fr/page9.htm

Soit à déterminer le centre de gravité de la section ci-dessous :

 

 

Remarque : L’aire de la section S est ici égal à S₁+S₂+S₃+S₄-S₅. Le moment statique de l’élément 5 doit donc être retranché.