Oscillateur harmonique:analogie électromécanique;corrigé*
Pondichéry 2006 CORRECTION EXERCICE : ANALOGIES ELECTROMECANIQUES
Source :mailto:labolycee@gmail.com
1 Oscillateur mécanique
1.a - Le système étudié est le solide (S) dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Trois forces agissent sur (S):
- le poids
- la réaction normale du support , verticale et vers le haut car le solide glisse sans frottement
-
la force de rappel du ressort telle que:
= – k.x.
, où x est l'abscisse du centre d'inertie G du solide.
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Les trois forces sont représentées au point G:
1.b - En
utilisant la deuxième loi de Newton appliquée au solide (S),
,on a: +
+
= m.
En projection sur l'axe (O), il vient:
0 + 0 – k.x = m.ax
or: ax =
donc: m. + k.x = 0
1.c - Si
x(t) = A.cos(2+ j) est une solution, elle doit
vérifier l'équation différentielle:
= – A.
.sin(2
+
)
= – A.
.cos(2
+
) = –
.x(t)
En reportant dans l'équation différentielle:
–m. .x(t) + k.x(t) = 0
x(t). [– m. + k] = 0
Û En excluant la solution x(t) = 0 (position d'équilibre) il vient:
[k – m. ] = 0
k = m.
T ² =
finalement: T =
x(t) est solution de l'équation
différentielle si T = .
· La relation T ² = montre que le rapport
est homogène au carré
d'une durée.
Donc
le rapport s'exprime en s².
· T est la période propre de l'oscillateur mécanique.
Application
numérique: T =
T = 2p ´
T = 0,63 s
1.d - Les conditions initiales sont: x(0) = Xo = + 4,0 cm et vx(0) = 0 m.s-1.
x(0) = Xo = A.cos(j)
vx(0)
= 0 = = – A.
.sin(
) Û sin(
) = 0 Û
= 0 ou
= p
Or à
t = 0 Xo >0 donc en
supposant A > 0 il faut que cos() > 0 : la seule solution
possible est alors:
= 0 (car cos(
) = – 1)
Et
si = 0 alors Xo = A ( car cos(0) = 1).
Finalement:
x(t)
= Xo.cos(2)
2 Oscillateur électrique
2.a – En identifiant les deux équations différentielles on peut faire les correspondances suivantes entre les grandeurs mécanique et électrique:
grandeur mécanique |
grandeur électrique |
m. |
|
m |
L |
x(t) |
q(t) |
k |
1 / C |
Et comme i(t) = , la grandeur mécanique correspondant à l'intensité
instantanée est
soit la vitesse
instantanée: vx =
2.b - En utilisant les similitudes entre les équations différentielles et les conditions initiales, on peut écrire:
x(t) = Xo.cos(2) pour
l'oscillateur mécanique
q(t) = Qo.cos(2) pour
l'oscillateur électrique
D'autre part pour les périodes propres:
T =
pour
l'oscillateur mécanique
T' =
pour
l'oscillateur électrique
En effet: m Û L et 1 / k Û C.
Application
numérique: T ' = 2 ´ ´
Donc T ' = 6,3.10–3 s = 6,3 ms
3.- Graphes x(t) et q(t):
x(t) =X0.cos(2) soit x(t) = 4,0 cos (2
t/0,63) avec x exprimée en cm et t en s
q(t)
= Q0.cos(2) soit q(t) =
10–4cos(2
t/6,3) avec t en ms
ou
q(t) = 100 cos((2t/6,3) avec t en ms et q en
µC.
4 - Les oscillateurs réels ne sont pas idéaux. En effet il existe toujours des effets dissipatifs d'énergie.
Pour l'oscillateur mécanique, il faut tenir compte des forces de frottement :
- solide de (S) sur le support
- fluide de (S) avec l'air.
Une partie de l'énergie mécanique est alors dissipée sous forme de chaleur à cause des frottements.
Pour l'oscillateur électrique, la résistance de la bobine n'est pas nulle (elle vaut quelques ohms): une partie de l'énergie électromagnétique stockée dans la bobine est dissipée sous forme de chaleur par effet Joule.