trigonométrie
III. EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES :
On rappelle que
quels
que soient
1.
Equation cosx = a,
·
Si,
équation n’admet aucune solution
·
Si
,
on a une infinité de solution. En effet si
est
solution, (c'est-à-dire
),
est
aussi solution (car
)
Et comme
quel
que soit
,
est
aussi solution, de même que
En admettant que ce sont les seules solutions, on a
Théorème :
Cas général :
Exemple :
· résoudre 2cosx-1=0
·
Posons
1. Equation sinx = a :
·
Si
pas
de solution
·
Si
on
a une infinité de solution
Si
est
solution
Comme,
est
aussi solution, donc
aussi
En admettant que ce sont les seules solutions on a :
Théorème :
Plus généralement
Exemples :
·
Résoudre
·
o
o
Posons
2. Equation acosx+ bsinx=c
Posons
Le point
appartient
au cercle trigonométrique
Soit
Théorème :
Si
,
il existe un réel
tel
que
Exemple :
Résoudre
3. Equation tanx = a
Théorème :
Quel que soit le
réel a, l’équation
admet
toujours une infinité de solution.
Si
est
solution,
est
aussi solution, quel que soit
Exemple :
4. Images des solutions d’une équation :
L’image d’une
solution
d’une
équation est le point M du cercle trigonométrique tel
que
Ø
Si les solutions sont de la forme
les
images des solutions forment un polygone régulier à n
cotés inscrit dans le cercle trigonométrique.
Si n = 3, on a un triangle équilatéral
Si n = 4, on a un carré,
Si n = 5 , ona un pentagone régulier
…..
si n = 1, on un seul point
si n = 2, on a deux points symétriques par rapport à l’origine du repère
5. Exemples d’inéquation trigonométrique :
Exemples :
o
résoudre
|
l’image
de x appartient à l’arc (orienté)
o
Résoudre
L’image de x
appartient à l’arc (orienté)
o