PROBABILITES CONDITIONNELLES

I- Deux urnes U₁ et U₂ de même apparence extérieure contiennent respectivement :

U₁ : 3 boules rouges et 2 boules vertes

U₂ : 2 boules rouges et 1 boule verte

On choisit une urne au hasard et on tire une boule de cette urne.

1° Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ?

2° On suppose que la boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne U₁ ?

II- Dans une ville donnée, 40 % de la population a les cheveux blonds, 50 % les yeux bleus et 35 % à la fois les cheveux blonds et les yeux bleus. On choisit une personne au hasard.

Quelle est la probabilité :

a) pour qu'elle ait les yeux bleus, sachant qu'elle a les cheveux blonds ?

b) pour qu'elle n'ait pas les cheveux blonds, sachant qu'elle a les yeux bleus ?

III- On lance deux fois de suite un dé tétraédrique portant sur ses faces les nombres 1, 2, 3 et 4 (les sorties sont équiprobables).

Soit A l'événement "le second nombre sorti est strictement inférieur au premier". On se propose de calculer P(A) de deux manières.

1. Soit W l'ensemble des issues (i, j) avec 1£ i £ 4 et 1£ j £ 4 et E_k l'événement "k sort au premier lancer" pour k = 1, 2, 3, 4.

a) Montrer que

b) Calculer P(A/E_k) , P(E_k) et en déduire P(A).

2. Utiliser un arbre et marquer les probabilités sur chaque branche. 1£ i £ 4

IV- Trois machines fabriquent des ampoules électriques dans les proportions suivantes : 20 % pour la machine A, 50 % pour la machine B et 30 % pour la machine C. Les fiabilités respectives des machines A, B et C sont 0,9 ; 0,95 ; et 0,8(autrement dit : la probabilité pour qu'une ampoule fabriquée par A soit bonne est 0,9 ….)

On achète une ampoule; elle est bonne. Quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée par A?

( Indication : Soit E l'événement : "l'ampoule est bonne ".

Calculer P(E) par la formule des probabilités totales (arbre) et )

V- Au cours d'un examen de math, trois professeurs A, B et C sont susceptibles de poser le sujet. On évalue respectivement à 0,35 ; 0,40 et 0,25 la probabilité que A, B et C posent respectivement le sujet. Par ailleurs, on estime à 0,1 la probabilité que "sort" sur les probabilités conditionnelles, si A qui pose le sujet, à 0,4 si c'est B et à 0,82 si c'est C.

Le jour de l'examen, le sujet comporte une question sur les probabilités conditionnelles.

Quelle est la probabilité que le sujet ait été posé par A ? par B ? par C.

VI- Dans une population donnée, 15% des individus ont une maladie M_a. Parmi les individus atteints de la maladie M_a, 20% ont une maladie M_b et parmi les individus non atteints de la maladie M_a, 4% ont la maladie M_b.

On prend un individu au hasard et on désigne respectivement par A et B les événements suivants :

"l'individu est atteint de la maladie M_a"

"l'individu est atteint de la maladie M_b"

désigne l'événement contraire de A, p_A(B) désigne la probabilité de "B sachant A"

1- Donner les valeurs de p(A), p_A(B) et .

2- Calculer p (B Ç A) et . en déduire p(B).

3- Calculer p_B (A).

VII- Un même individu peut être atteint de surdité unilatérale (portant sur une seule oreille) ou bilatérale (portant sur les deux oreilles). On admet que, dans une population donnée, les deux événements :

D : " être atteint de surdité à l'oreille droite" et

G : " être atteint de surdité à l'oreille gauche"

sont indépendants et tous deux de probabilité 0,05 ce que l'on note : p(D) = p(G) = 0,05.

On considère les événements suivants :

B : " être atteint de surdité bilatérale"

U : " être atteint de surdité unilatérale"

S : " " être atteint de surdité (sur une oreille au moins)"

1- Exprimer les événements B et S à l'aide de G et de D, puis calculer les probabilités p(B) de B et p(S) de S

En déduire la probabilité p(U) de U.

2- Sachant qu'un sujet pris au hasard dans une population considérée est atteint de surdité, quelle est la probabilité :

a) Pour qu'il soit atteint de surdité à droite ?

a) Pour qu'il soit atteint de surdité bilatérale ?

Les deux événements "B sachant S" et "G sachant S" sont-ils indépendants ?

VIII- On dispose d’un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3.

On dispose également d’une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).

Un joueur fait une partie en deux étapes :

Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.

Deuxième étape :

• si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l’urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

• si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

• si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

À la fin de chaque partie, il remet dans l’urne la ou les boules tirée(s).

On définit les évènements suivants :

D₁ : « le dé indique 1 », D₂ : « le dé indique 2 »,

D₃ : « le dé indique 3 », G : « la partie est gagnée ».

A et B étant deux évènements tels que , on note p_A(B) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1. a. Déterminer les probabilités , et .

b. Montrer alors que .

2. Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu’il ait obtenu le numéro 1 avec le dé.

3. Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en donner une valeur arrondie à 10⁻² près.

Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une soit supérieure à 0,9 ?