L'ANALYSE DIMENSIONNELLE

Source :http://www.ac-orleans-tours.fr/physique

1.Les lois d'échelle ou pourquoi "les voyages de Gulliver" ne résistent-ils pas à l'analyse scientifique ?

• Dans ce conte philosophique, l'auteur décrit des géants ayant même structure que nous, mais dont la taille (et en fait l'ensemble des dimensions) est dix fois supérieure à la nôtre. Cela est impossible ; pourquoi ?
• La force d'un homme est liée à ses muscles qui sont un assemblage de fibres, relativement identiques d'un muscle à l'autre. Seul diffère le nombre de ces fibres. La force d'un muscle est donc proportionnelle à sa section. Si L est la dimension caractéristique du muscle (son diamètre, par exemple), la force musculaire est alors proportionnelle à L². Son poids, quant à lui, lié au volume, est proportionnel à L³.

Considérons que la dimension caractéristique d'un homme (normal) est 1 ; pour le géant, cette dimension est donc 10.La force de l'homme sera 1² = 1 et celle du géant, 10² = 100Le poids de l'homme sera 1³ = 1 et celui du géant, 10³ = 1000.Cela reviendrait pour un homme à porter 9 compatriotes sur ses épaules, en plus de son propre poids ; il y a fort à parier qu'il s'effondrerait !

2.Equations aux dimensions

Le principe des équations aux dimensions consiste à ramener les différents paramètres intervenant dans une formule aux grandeurs fondamentales du système international d'unités qui sont :

1. la longueur notée L
2. la masse notée M
3. le temps noté T
4. l'intensité électrique notée I
5. la température notée K
6. l'intensité lumineuse
7. la quantité de matière

Chaque grandeur physique peut être exprimée en fonction des grandeurs fondamentales.

Exemples :

• Force F : F = m.a
• donc [F] = M [a] = M L T^-2 ( [a] signifie "dimension de a" )
• Energie E : E = 1/2 m.v²
• donc [E] = M [v²] = M [v]² = M L² T^-2

(remarque : les coefficients sans dimension n'interviennent pas dans ces expressions)

• Capacité thermique massique c : Q = m.c (Tf - Ti)
• donc [c] = [Q] [m]^-1 [T]^-1 = M L² T^-2 M^-1 K^-1 = L² T^-2 K^-1

3.Analyse dimensionnelle

L'analyse dimensionnelle est une méthode d'exploration des phénomènes physiques d'une grande efficacité ; en particulier, elle permet :

1. - de vérifier l'homogénéité d'une formule
2. - de rechercher la nature des relations entre des grandeurs physiques liées.

Elle utilise les équations aux dimensions.

3.1.Vérification de l'homogénéité d'une formule

A la suite de différents calculs, une relation a été trouvée entre la vitesse v d'un objet en chute libre, l'accélération de la pesanteur g, et la hauteur de chute h : v² = 2 g.h . Cette formule est-elle homogène ?

Utilisons les équations aux dimensions :

• [v²] = [v]² = (L T^-1)² = L² T^-2
• [2 g.h] = [g] [h] = L T^{-2 L = L2} T^-2

La formule est donc homogène.

3.2.Recherche de la relation entre grandeurs physiques liées

Soit un pendule élastique constitué d'un palet glissant sans frottements sur un banc à coussin d'air, attaché à l'une des extrémités d'un ressort, l'autre étant fixe. Le système est un oscillateur. On souhaite découvrir à l'aide de l'analyse dimensionnelle l'expression de la période T des oscillations (à une constante numérique près, l'analyse dimensionnelle ne permettant pas de prendre en compte les nombres sans dimension).

Etape 1 : Liste des paramètres dont peut éventuellement dépendre T

1. - la masse du palet : m
2. - la raideur du ressort : k
3. - l'amplitude des oscillations : Xo

Etape 2 : Recherche des dimensions des différents paramètres

1. [m] = M
2. [k] = [F/x] = M L T^-2 L^-1 = M T^-2
3. [Xo] = L
4. [T] = T

Etape 3 : Mise en équation du problème

On essaie pour l'expression de la période une expression telle que :

• T = Cste . m^a. k^b. Xo^g
• D'où : [T] = T = [m]^a [k]^b [Xo]^g = M^a M^b T^-2b L^g = M^a+b T^-2b L^g

Après identification :

• a + b = 0 ; -2b = 1 ; g = 0

• soit : b = -1/2 ; a = 1/2 ; g = 0
• d'où l'expression de la période T : T = Cste. m^1/2. k ^-1/2 = Cste (m/k)^1/2