LES FRANGES D’ YOUNG

Source :http://www.lac.u-psud.fr/experiences-optique/interferences/young/fr-young.html

Thomas Young (1773-1829) était médecin physicien .Il est connu surtout pour la contribution qu’il apporta sur la nature de la lumière. En 1803, il montre que si l’on éclaire un écran à travers une fente étroite, il se forme des franges très lumineuses en des points qui auraient dû rester dans l’ombre si la lumière s’était propagée en ligne droite .

Plus étonnante encore l’expérience réalisée avec une double fente montre que deux rayons lumineux peuvent se combiner pour produire une alternance de bandes claires et noires. L’expérience conduit à se paradoxe : lumière issue de la 1ère fente + lumière issue de la 2ème fente = Zéro de lumière

Comment interpréter la formation de ces bandes sombres ? Quel modèle pour la lumière permet d’interpréter ce phénomène ?

1-L’expérience d’Young :

Dans l'expérience de Young, on utilise une source lumineuse S monochromatique et on interpose une plaque percée de 2 fentes. Celles-ci se comportent comme des sources secondaires S₁ et S₂. On observe alors, sur un écran placé derrière, un réseau très serré de franges alternativement sombres et claires parallèle aux fentes. La frange centrale (observée sur la médiatrice se S₁S₂) est lumineuse.

Schéma de principe des fentes de Young.

2-l’interprétation de Thomas Young :

a- Le caractère ondulatoire de la lumière

  La théorie des interférences a été établie par analogie avec les phénomènes observés à la surface de l’eau.
 Rendons nous donc au bord d’un étang….
 Le fait de jeter une pierre dans l’eau fait apparaître un système de rides à profil sinusoïdal qui se déplace avec une vitesse V. Si un corps flottant est placé sur le trajet, on voit le corps monter et descendre au passage des vagues. Contrairement à une idée reçue, le corps ne se déplace pas, il se contente d’osciller sur place.
 
 Mathématiquement, nous écrirons que le corps flottant reproduit le mouvement de la source un instant plus tard.
 Soit  y_S(t)=a cos ωt le mouvement de la source.
 Si on appelle τ  le temps que met le paquet de rides pour atteindre l’objet flottant en M, le mouvement de celui-ci est décrit par l’expression : y_M(t)=y_S(t-t)=a cos[ω(t - τ)] ou l’expression entre crochet s’appelle la phase du mouvement. Celle-ci est définie à 2P prés

 A partir de cette équation, il y a trois possibilités de raisonnement.

a- raisonnement sur les temps.
 Avec ω = 2π / T, il vient  a cos(ω t - 2π τ /T). Par suite, si τ est égal à un nombre entier de périodes (τ =kT),  le mouvement du corps flottant est identique à celui de la source. Tous deux passent par le maximum où le minimum en même temps.

b- raisonnement sur les phases.
 Posons 2π τ /T = φ . Le mouvement du corps flottant est : a cos (ω t - φ).
Si φ = 2 k π, les mouvements de la source et du corps flottant sont dits «en phase». Maxima ou minima se produisent au même instant. Pour les valeurs  φ = (2k +1) π on parle d’opposition de phase. A l’instant où la source est à son maximum d’amplitude, le corps flottant est à la position la plus basse.

c- raisonnement sur les distances
 Puisque les rides se déplacent à une vitesse constante V, le corps flottant situé à une distance d est atteint au bout du temps τ = d / V.  L’équation devient a cos (ω t - 2π d / VT). V étant une vitesse et T un temps, le produit VT est une longueur que l’on appelle longueur d’onde et que l’on note λ.
  L’équation du mouvement du corps flottant devient a cos (ωt - 2π d / λ). Par suite pour toutes les distances telles que  d = kλ ( k entier), le mouvement du corps est identique à celui de la source. Il est en opposition pour les valeurs

 Note : A l’instant  t = τ , prenons une photo du système de rides. Le temps étant une fonction de la distance d. figé, ω τ = cste. Nous visualisons ainsi l’équation a cos ( 2π d /λ + cste) qui devient

Deux points situés à des distances différentes ont le même état vibratoire si l’argument du cosinus diffère de 2kπ. Les points les plus proches ont lieu pour k=1
soit :  ( 2π d₁ /λ + cste) = ( 2π d₂ /λ + cste) + 2π . D’où l’on tire  d₁ - d₂  = λ .

La longueur d’onde n’est donc autre que la distance entre deux rides successives.
On utilise parfois la grandeur inverse σ =1 /λ  que l’on appelle nombre d’onde. Elle correspond tout simplement au nombre de rides présentes par unité de longueur. Ainsi pour l’eau, λ= 0,15 m d’où :
σ = 1/ 0,15 = 6, 67 m^-1 .  Il y a un peu moins de 7 rides sur une distance de 1 mètre.

b-Expliquons le phénomène d’interférences avec ce modèle :

 Lâchons maintenant simultanément deux pierres de façon que les équations de mouvement des sources s’écrivent a cos ωt.
 Si t₁ et t₂  sont les temps mis par chaque système de rides pour atteindre le corps flottant, le mouvement de celui-ci est donné par l’équation :
 S = a cosω (t + t₁) + a cosω (t + t₂)  = 2a cosω [ t₁  -t₂) / 2] cosω [ t + (t₁  + t₂) / 2]

Le corps flottant oscille donc à la même fréquence que les sources, avec un décalage qui dépend de la quantité mais aussi avec une amplitude qui vaut       

Or cette expression peut prendre la valeur zéro en certains points du plan, ce qui se traduit par : Mouvement dû à la source S1 + Mouvement dû à la source S2 = Absence de Mouvement.

 C’est sur cette simple analogie que s’est appuyé FRESNEL pour développer la théorie ondulatoire de la lumière.

 De préférence à un calcul mathématique, examinons ce qui se passe avec une maquette découpée dans une simple planche d’isorel (photos :1,2,3et4)

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Calcul de l’interfrange  i 

 Revenons à l’optique. Appelons D la distance de l’écran aux fentes et x la distance du point d’observation à leur axe. La coutume veut que a désigne la distance entre les fentes (ce qu’il ne faut pas confondre avec l’amplitude de l’oscillation).

a et x étant toujours beaucoup plus petits que D (typiquement D > 1m, x = qqs cm et a < 1mm, les termes littéraux sont << 1. Ce qui fait que les radicandes se mettent sous la forme (1 + ε)^1/2 dont le développement limité est 1 + ε /2.

D'où l'on tire :   d₁ - d₂ = a x / D . Lorsqu'on fait varier x, la quantité  (d₁ - d₂) varie. Or, on passe d'un maximum au suivant lorsque  (d₁ - d₂) a varié de λ. Désignons par i la variation correspondante de x. Il vient :
                                                   i = λ D /a
i est appelé interfrange.

Avec la simulation qui suit, vous pouvez modifier les différents paramètres : l, D, a et vérifier si l’influence de chacun d’eux sur la valeur de l’interfrange i correspond à l’expression ci-dessus.

Interférences mécaniques et lumineuses: animations

 Pour les petits angles  tan α  ≈  sin α  ≈ α   ce qui conduit au même résultat que précédemment. Mais avec cette démonstration, la validité des approximations faites est beaucoup plus délicate à établir.

Mesures de longueurs d’onde

 On oublie trop souvent que cette expérience fut la première qui permit d’attribuer un nombre à une couleur de l’arc-en ciel. Si, dès 1700, Newton avait inventé le prisme, l’avait installé à la sortie de son télescope pour étudier la composition de la lumière émise par les astres, ses descriptions manquaient de précision faute d’un étalon de mesure.

 Reprenons la valeur de l’interfrange i = λ D / a. On voit que le facteur multiplicatif
(D/a) peut être énorme. Avec D = 4m et a = 0,5 mm, il vaut 8000. En utilisant un microscope pour déterminer précisément la valeur de a, et en faisant porter les mesures sur une vingtaine d’intervalles, on peut atteindre une précision de l’ordre de 1% sur la mesure de λ.
 A la notion vague de couleur (jaune-vert, jaune paille, jaune franc, jaune-or, jaune orange) se substituait un chiffre dont la précision allait considérablement augmenter avec l’invention des réseaux de diffraction puis de l’interféromètre de FABRY-PEROT.
 

La cohérence temporelle de la lumière

 L’observation des rides à la surface de l’eau permet d’aller plus loin dans la compréhension du phénomène lumineux. Lorsqu’on jette une pierre dans l’eau, il se forme seulement un paquet de quelques rides. Supposons que nous lâchions les deux pierres à des instants très différents. Le premier paquet s’est éloigné et le second ne pourra le rattraper. Les interférences disparaissent.
 Un siècle après l’expérience d’YOUNG, la théorie atomique allait reprendre cette idée.
 La lumière est émise par les atomes. Au repos ceux-ci n'émettent pas, mais lors d’une collision, ils acquièrent de l’énergie qu’ils restituent sous la forme de minuscules éclairs dont la durée peut varier de quelques picosecondes (10^-12 sec.) à rarement plus que quelques microsecondes (10^{- 6} sec.).
 De plus, contrairement aux rides qui conduisent à une oscillation toujours perpendiculaire au plan de l’étang, l’oscillation de l’onde électromagnétique se produit avec un azimut quelconque.
 Or, l’expérience  montre que les interférences ne peuvent se produire que si les directions d’oscillation sont parallèles. Ainsi la probabilité pour que deux atomes émettent simultanément et, de plus, avec la même direction de polarisation est infime.
 FRESNEL avait énoncé la règle que l’on ne pouvait produire des interférences avec deux sources différentes et qu’il fallait procéder en divisant puis recombinant un même faisceau.
 Nous traduisons ceci en écrivant que la lumière naturelle est incohérente.