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T C/TD
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mouvement des satellites et des planètes
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Source : Lydie
Germain lycée Clémenceau Reims :http://fizik.chimie.lycee.free.fr/
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Objectifs :
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Énoncer les lois de Kepler
et les appliquer à une trajectoire circulaire ou elliptique.
Définir un mouvement
circulaire uniforme et donner les caractéristiques de son vecteur
accélération.
Connaître les conditions
nécessaires pour observer un mouvement circulaire uniforme : vitesse
initiale non nulle et force radiale.
Énoncer la loi de
gravitation universelle sous sa forme vectorielle pour des corps dont la
répartition des masses est à symétrie sphérique et la distance grande devant
leur taille.
Appliquer la deuxième loi
de Newton à un satellite ou à une planète.
Démontrer que le mouvement
circulaire et uniforme est une solution des équations obtenues en appliquant
la deuxième loi de Newton aux satellites ou aux planètes.
Définir la période de
révolution et la distinguer de la période de rotation propre.
Exploiter les relations
liant la vitesse, la période de révolution et le rayon de la trajectoire.
Connaître et justifier les
caractéristiques imposées au mouvement d’un satellite pour qu’il soit
géostationnaire.
Retrouver la troisième loi
de Kepler pour un satellite ou une planète en mouvement circulaire uniforme.
Exploiter des informations
concernant le mouvement de satellites ou de planètes.
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Intro : quelles sont les lois qui
régissent le mouvement des astres ?
1.
Les lois de Kepler
Première loi :
loi des orbites
Les planètes décrivent des
orbites elliptiques dont le Soleil occupe l’un des foyers.
Une ellipse est une courbe
dont les points M constitutifs sont tels que 
.
F et F’ sont les foyers de
l’ellipse et a le demi grand axe. Si F et F’ sont confondus, on retrouve un
cercle.
Deuxième loi : loi des aires
Le rayon vecteur 
allant du Soleil à la
planète balaye des aires égales pendant des intervalles des temps égaux. Un
mouvement planétaire elliptique n’est jamais uniforme.
Si la trajectoire est un
cercle, alors le mouvement est uniforme.
Troisième
loi : loi des périodes
Le carré de la période de
révolution d’une planète autour du Soleil est proportionnel au cube du demi
grand-axe.
Quelles que soient les
planètes choisies, le rapport 
est constant, la
valeur de la constante dépend uniquement des caractéristiques du Soleil (avec T
la période et a le demi grand-axe).
2.
La loi de gravitation universelle
Nécessité d’une
force pour obtenir un mouvement circulaire
Rappels de 2nde :
Un objet en mouvement
circulaire (uniforme ou non) est soumis à une force. Une étude réalisée avec un
mobile autoporteur montre qu’il faut un fil tendu accroché au mobile et à un
point fixe du référentiel d’étude pour obtenir ce mouvement.
Le fil exerce une force
dirigée vers le centre du cercle de la trajectoire : on dit que la force
est centripète.
Par analogie, Newton en
déduisit que les planètes étaient soumise à l’action d’une force centripète, et
comme il n’y a pas de fil entre planète et Soleil, il s’agit d’une force à
distance, la force gravitationnelle.
La force d’interaction gravitationnelle
La force exercée par un corps
A sur un corps B est donnée par la relation vectorielle : 
.
La valeur de ces forces
d’interaction est donnée par 
.
Cette relation est
valable :
pour deux corps ponctuels ; (strictement vrai)
pour deux corps à symétrie sphérique ; (strictement
vrai par application du théorème de Gauss)
si un objet est non ponctuel ou non symétrique, elle est
valable lorsque l’un des deux corps est de petites dimensions devant la
distance qui le sépare de l’autre corps. (approximation)
La portée de l’interaction
gravitationnelle est infinie.
Cas du mouvement de
la Lune
La Lune ne tombe pas sur la Terre malgré la force exercée sur elle 
.
A.N. : 
Comme elle possède une
vitesse initiale, on peut s’attendre à une chute parabolique comme dans le P12.
Or dans le cas de la Lune le champ de gravitation
n’est pas uniforme, et la direction du vecteur force change.
La Lune tombe sur la
Terre, sa trajectoire s’écarte d’une droite et son mouvement
n’est pas rectiligne et uniforme. Cet écart ramène la Lune à chaque instant sur un
cercle.
3.
Le mouvement circulaire uniforme
Vecteur
accélération
Hypothèse : le mouvement
est uniforme donc 
.
En P1, 
, et en P2, 
.
Donc l’accélération
s’écrit : 
et comme la dérivée du
vecteur position en P2 est le vecteur vitesse en P2 donc 
.
Dans un mouvement circulaire
uniforme : le vecteur accélération est non nul et centripète (dirigé vers
le centre).
Si le mouvement est
circulaire mais non uniforme : 
. (
vecteur unitaire de la tangente).
Le mouvement est circulaire
uniforme si le vecteur accélération est centripète et donc la force résultante
est radiale (dirigée suivant un rayon).
Il faut de plus que la
vitesse initiale de l’objet soit non nulle, sinon on observe une chute
verticale.
Cas des planètes
Le mouvement des planètes
s’étudie dans le référentiel héliocentrique galiléen.
On écrit la deuxième loi de
Newton : 
et donc 
.
Si P a un mouvement
circulaire uniforme autour de S, son accélération doit être de la forme : 
.
L’accélération étant unique, 
et 
.
Période de
révolution
On en déduit la période de
révolution : 
et on retrouve la troisième loi de Kepler : 
. On constate que ce rapport ne dépend que de la masse de
l’astre central.
Détermination de la
masse d’un astre possédant un satellite
La formulation précédente de
la 3ème loi de Kepler permet de déterminer la masse d’un astre
possédant un satellite (naturel ou artificiel), c’est ainsi que l’on
« pèse » les planètes et les étoiles (si elles sont doubles).
En effet, la constante
dépendant de la masse de l’astre central, il suffit de mesurer la période et le
rayon de l’orbite : 
.
Exemple : le rayon de
l’orbite terrestre est 
et sa période de
révolution autour du soleil est T = 365,25 jours. On en déduit 
.
Pour la Terre : dans le
référentiel géocentrique la Lune
a une période de révolution T = 27,321661 jours et la distance
moyenne Terre–Lune est 
. On en déduit 
.
Les écarts avec les valeurs reconnues proviennent de l’approximation du
mouvement circulaire uniforme.
4.
Cas des satellites de la Terre
Vitesse de satellisation
Pour qu’un objet reste en
orbite, il faut lui communiquer une vitesse perpendiculairement à la direction
Satellite – centre de la Terre,
sinon on se retrouve dans le cas d’un mouvement radial correspondant soit à la
chute verticale ou à une évasion.
Si cette vitesse est
inférieure à 11,2 km/s, l’objet est satellisé autour de la Terre.
Le mouvement des satellites
s’effectue dans un plan (comme tous les mouvements dans un champ de
gravitation ??). Le vecteur force gravitationnelle qui permet à la trajectoire
d’être circulaire est contenu dans ce plan. On en déduit que le centre de la Terre est aussi situé dans
le plan de la trajectoire.
À priori, on peut satelliser
un objet à n’importe quelle altitude à condition de lui donner une vitesse
suffisante pour le maintenir sur l’orbite (et éviter qu’il ne retombe sur la Terre) mais pas trop
importante pour éviter l’évasion ou la libération.
Dans le cas d’une orbite
circulaire, l’altitude h à laquelle se trouve le satellite est telle que 
et les relation
donnant sa vitesse et sa période de révolution sont 
et 
.
Le mouvement d’un satellite
est indépendant de sa masse, ce qui n’est pas le cas de son lancement !
Cas des satellites
géostationnaires
Un satellite géostationnaire
reste en permanence à la verticale du même point de la surface terrestre.
Il est donc fixe dans le
référentiel terrestre.
Conditions à remplir :
Stationnarité :
Lorsque la Terre tourne autour de l’axe
des pôles, dans le référentiel géocentrique, les satellites stationnaires
doivent tourner avec la
Terre. Si un satellite était stationnaire au-dessus de Reims
sa trajectoire serait un cercle ne passant pas par le centre de la Terre ce qui est impossible.
Un satellite ne peut être stationnaire que s’il est situé au dessus de
l’équateur.
Un satellite est
géostationnaire si le plan de son orbite est confondu avec le plan de
l’équateur terrestre.
Tout satellite
géostationnaire se trouve à la verticale d’un point de l’équateur.
Période :
Elle doit être la même que la
période de rotation de la Terre
autour de l’axe des pôles, c’est à dire un jour sidéral : Tgéo = 86164 s
soit 23h et 56 min.
Sens :
Le sens de rotation du
satellite autour de la Terre
doit être le même que celui de la
Terre autour de l’axe des pôles dans le référentiel
géocentrique.
Toutes ces conditions doivent
être réalisées simultanément
Résumé :
Le satellite géostationnaire
se trouve dans le plan équatorial et à la verticale d’un point de l’équateur,
son sens de rotation est d’ouest en est et sa période de révolution est d’un
jour sidéral Tgéo = 86164 s.
Conséquences :
L’altitude requise est 
A.N. : 
.
La vitesse sur l’orbite
géostationnaire est 
.
A.N. : 
.
État d’impesanteur
dans un satellite artificiel (Facultatif)
Comment un objet peut-il
flotter à bord d’un satellite en orbite ?
Les dimensions du satellite
sont suffisamment petites pour que le champ de pesanteur soit considéré comme
uniforme.
Dans une cabine spatiale, un
spationaute désire mesurer le poids apparent d’un objet de masse m et de centre
de masse C. Il suspend l’objet à un ressort de raideur k accroché au plafond de
la cabine.
Dans le référentiel de la
cabine, l’objet est immobile donc 
.
Dans le référentiel
géocentrique, l’objet est soumis à la force gravitationnelle et à la tension du
ressort. La 2ème loi de Newton donne 
or 
et 
car 
et 
. La 2ème loi de Newton conduit donc à 
, la tension est nulle, le ressort ne s’allonge pas. Le
spationaute en déduit que le poids apparent de l’objet est nul comme pour tous
les objets de la cabine, d’où l’impression d’absence de pesanteur appelée
impesanteur.
Explication du
paradoxe : l’objet est toujours soumis à la force gravitationnelle exercée
par la Terre et
celle-ci est loin d’être nulle, il a donc un « poids », le problème
découle de l’application de la loi de Newton dans un référentiel
non galiléen dans laquelle elle n’est pas valable. C’est comme lorsqu’on
se déplace en voiture, on n’a pas l’impression d’être en mouvement tant qu’on
est à l’intérieur (les yeux fermés) car la voiture se déplace à la même vitesse
que ses passagers.