SUJETS MECANIQUE BAC MADA AVEC CORRECTION

I -Bac D 2006

CORRECTION :

(Dans le texte, les vecteurs sont représentés par des lettres en caractère gras .

Ex :le poids P…)

1-Calcul de la distance AB :

L’étude du mouvement du point est réalisée par rapport au référentiel terrestre galiléen.

Inventaire des forces extérieures : le poids P vertical, la force de frottement f parallèle à la pente et de sens contraire au déplacement, la réaction R normale à la pente.

Appliquons le théorème de l’énergie cinétique :

Rappel de l’énoncé du théorème: dans un référentiel galiléen la variation de l’énergie cinétique d’un solide est égale à la somme des travaux des forces appliquées au solide pendant la durée de la variation.

Soit entre A et B : Ec(B)-Ec(A)= W(f) +W(P)+W®

W®=0 car R est perpendiculaire à AB,

Soit h la dénivellation entre A et B ; le travail de P ne dépend que de h et comme il est résistant,

W(P) =-mgh=-mgABsina.

(Remarque f désigne ici l’intensité (positive ) de la force)

Soit : 0 - 0.5m(v_A)²=AB(-mgsina-f)

D’où :

2-vitesse en C :

Inventaire des forces extérieures : le poids P vertical, la réaction R normale à la pente (les frottements étant négligés).

Il est commode ici encore d’appliquer le théorème entre B et C:

Ec(C)-Ec(B)= W(R) +W(P).

Soit h₁ la dénivellation entre B et C.

Le travail de P est moteur, soit W(P) =+mgh₁= m.g.r.cosq.

Et W(R)=0 car R est perpendiculaire au déplacement à chaque instant.

L’équation précédente s’écrit :

0,5.m.(v_c)²= m.g.r.cosq, soit,

.

3-Equation de la trajectoire :

Le point est soumis à la seule force P, c’est une chute libre.

La relation fondamentale de la dynamique (2éme loi de Newton) s’écrit :  

(1)

L’accélération du point est donc constante, la trajectoire est parabolique.

Choisissons comme instant initial t=0, celui du départ du point C(0,zo) .

z_o=AB.sina -r.cosq = 2.02*sin60 -0.5*cos45=0.318m.

Projetons sur les deux axes la relation 1 pour obtenir les équations paramétriques:

Recherchons les primitives de ces fonctions, soit en tenant compte des conditions initiales du mouvement :

Les primitives donnent :

x = (v_c.cosq).t……et……..z = -0.5.gt²+(v_csinq).t + z_o

En éliminant t entre les deux équations : t=x/v_c.cosq, on obtient l'équation de la trajectoire.

4. Abscisse du point de contact D :

Posons z=0 ; soit : -1.41 x²+x+0.318=0.

x_D est la racine positive de l’équation soit :x_D=+0.95m

II- Bac C 2008 (6 pts)

Dans tout le problème, on néglige les frottements et on prend pour l’intensité de pesanteur g = 10 m s^–2.

Un pendule simple est constitué par une bille ponctuelle M₁ de masse m₁= 200 g suspendue au bout d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l = 0,9 m.

1) On écarte le pendule d’un angle a par rapport à sa position d’équilibre verticale et on le lâche sans vitesse initiale. La vitesse de la bille M₁ lors de son passage à la position d’équilibre est v = 3 m.s^–1. Calculer la valeur de l’angle a. (0,50 pt)

2) Lors de son passage à la position d’équilibre la bille M₁ heurte, au cours d’un choc parfaitement élastique, une autre bille ponctuelle M₂ immobile de masse m₂ = 100 g. (figure 2). La vitesse de la bille M₂, juste après le choc, est v_A = 4 m.s^–1. Calculer la vitesse de la bille M₁ juste après le choc en appliquant la conservation de la quantité de mouvement. (0,50 pt)

3) La bille M₂ est propulsée avec la vitesse V_A sur une piste qui comporte trois parties : (figure 2)

- Une partie horizontale AB,

- Une certaine courbe BC,

- Un arc de cercle CD, de rayon r et de centre O.

Les points O, A, B et E se trouvent dans un même plan horizontal.

a) Exprimer, en fonction de g, r, b et v_A, la vitesse de la bille M₂ au point I. (1,00 pt)

b) Exprimer, en fonction de m₂, g, r, b et v_A, l’intensité de la réaction de la piste sur la bille M₂ au point I. (1,50 pt)

c) La bille M₂ arrive au point D avec une vitesse horizontale de valeur v_D = 1 m.s^–1. Calculer la valeur de r. (0,50 pt)

4) Arrivée au point D, la bille M₂ quitte la piste avec la vitesse précédente et tombe en chute libre. (Figure 2).

a) Etablir l’équation cartésienne de la trajectoire de la bille M₂ dans le repère. (1,5pt)

b) Calculer la distance OE. (0,5pt)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

CORRECTION

1-calcul de l’angle a :

Dans le texte ci-dessous, la longueur du fil sera notée :L

Je propose ici une solution énergétique.

Considérons deux états du système déformable {bille, Terre}

Etat 1 : bille en M₁, vitesse v=0, hauteur y=h, énergie potentielle de pesanteur du système: Ep(1)=mgh (si l’on prend le niveau x’x comme référence), énergie cinétique Ec(1)=0

Etat 2 : bille en M₂, vitesse v=3m/s, hauteur y=0, Ep(2)=0, Ec(2)=1/2.m₁.v².

Les frottements étant négligés, appliquons le théorème de conservation de l’énergie mécanique :

Ep(1) + Ec(1)=Ep(2) + Ec(2)

En remarquant que : h= L-L.cosa= L(1-cosa), il vient :

m₁gL(1-cosa)=1/2.m₁.v².

et en simplifiant par m₁ :

2-vitesse de la bille m₁ juste après le choc :

Le système des deux boules étant isolé au moment du choc, il ya conservation de sa quantité de mouvement totale :

Projetons cette relation sur l’axe x’x : m₁ V= m₂.V_A+m₁.V’, soit :

.

3-a Vitesse en I :

L’énergie mécanique du système {bille/Terre} est conservée lors du mouvement, et donc :

E_C(A) + E_P(A)= E_C(I) + E_P(I) (1)

L’état de référence choisi du système est celui où la bille se trouve au niveau de l’axe x’x et donc E_P(A)=0, la relation(1) s’écrit alors :

½.m₂V_A²= ½.m₂V_I²+m_2.g.h(I) avec h(I)= r.cosb.

Et en simplifiant par m_2 : V_A²=V_I² +2.g.r.cosb, soit

(2)

-b Intensité de la réaction en I :

Les forces appliquées sur la bille sont : le poids et la réaction de la piste (normale à la trajectoire en l’absence de frottement). Elles sont représentées sur le schéma ci-dessous.

Le théorème du mouvement du centre d’inertie appliqué à la bille s’écrit :

Projetons cette relation sur l’axe In normal à la trajectoire et orienté vers O.

Comme la trajectoire est circulaire, la composante normale de l’accélération est :

En tenant compte de la relation (2) précédente,

c-calcul de r :

Le théorème de conservation de l’énergie entre A et D permet d’écrire:

D’où l’on tire

4-a Equation cartésienne de la trajectoire :

La bille est soumise uniquement à son poids, elle est en chute libre.

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on a :

L’accélération verticale est donc constante.

Précisons les conditions initiales : à t=0, V_xo=V_D=1,0m/s ,V_yo=0 (car la vitesse est horizontale) , y=y_o=0,75m et x=x_o=0..

Compte tenu de celles-ci, les équations paramétriques du mouvement s’écrivent :

Eliminons t entre x et y , il vient :

Equation d’une parabole d’axe de symétrie Oy

4-b Calcul de OE :

Posons y=0, il vient 5x²=0.75 soit x=+0.39m.

(La valeur négative :-0.39 correspond à l’abscisse du point symétrique qui ici n’a pas de signification physique).