PHYSIQUE NUCLEAIRE Bac C 2007(2 points)

Le noyau d’uranium    est radioactif de période T = 4,5 x 10⁹ années. L’ensemble de ses désintégrations successives conduit à la réaction suivante :

1 -   Déterminer  x  et  y.                                                                                                                         (0,50)

2 -   Un minerai ne contient que N₀ noyaux d’uranium  à l’instant  t = 0.

a -    Exprimer le rapport r, à la date t quelconque, du nombre de noyaux de plomb formés sur le nombre de noyaux d’uranium présents, en fonction de l et  t.                                        (0,75)

b -   Actuellement, ce minerai contient 1g d’uranium et 10mg de plomb. Calculer l’âge t₁ du minerai en années.                                                                                                                           (0,75)

            On donne :      M(U) = 238 g.mol^–1       ;       M(Pb) = 206 g.mol^{–1     ;}          ln 2 = 0,69

                                   Nombre d’Avogadro :  N   = 6,02 x 10²³ mol^–1                                               

Solution

1-Les désintégrations successives s’écrivent :

:

Ces réactions nucléaires  satisfont à 2 règles de conservation :

Conservation du nombre de nucléons :

238=206+4x+0y

Conservation du nombre de charges :

92=82+2x-y

Les deux équations conduisent à x=8 et y=6.

C’est ce que confirme le diagramme suivant : l’ensemble des éléments successifs constituent la famille uranium –thorium-plomb

2-a  rapport r :

Ecrivons la loi de décroissance radioactive de l’uranium.

Soit No(t) le nombre de noyaux d’uranium à la date zéro et  N(t) le nombre de noyaux restants à la date t, la loi s’écrit :

Sur une durée très longue on peut considérer que tous les noyaux d’uranium se transforment directement en noyaux de plomb suivant cette loi,

N(Pb) _formés= N(U)_disparus=N_o-N(t)(*)

(*) cette hypothèse se justifié car la période de désintégration de l’uranium en thorium est très supérieure aux  périodes de désintégration des  autres membres de la famille. La durée moyenne nécessaire pour transformer les noyaux de thorium en noyaux de plomb est négligeable devant la durée moyenne de transformation de l’uranium en thorium

2-b Age  du minerais :

Calculons le nombre de noyaux de plomb en fonction de la masse de plomb formé m_Pb. dans le minerais

Le nombre de noyaux d’uranium restants dans ce minerais :

Soit le rapport :

l.t₁=ln(1,0116), d’où t₁

L’âge du minerais est donc 75 millions d’années.