TRAITEMENT
STATISTIQUE D’UNE SERIE DE COMPTAGES ( TP)
1-INTENTION PEDAGOGIQUES :
Montrer
que la désintégration individuelle d’un noyau est indéterminée mais que l’on peut
prévoir le comportement d’un très grand nombre de noyaux en réalisant une étude
statistique.
Comme pour
étudier un gaz il n’est pas possible de suivre individuellement le comportement
d’une molécule. Cependant il existe des grandeurs macroscopiques comme
la pression et la température qui rendent compte du comportement global d’un
échantillon de gaz comportant un très grand nombre de molécules.
Réaliser une analogie entre les
caractères aléatoires de la radioactivité et du lancer de dés à jouer. Celle-ci
permet de montrer que l’étude statistique peut s’appliquer à d’autres domaines.
II PROTOCOLE EXPERIMENTAL:
1-Etude du comportement
individuel d’un noyau :
Questions :
a-écrire l’équation de la désintégration
nucléaire du césium 137 (Z=55) sachant que le noyau fils obtenu est le baryum
137(Z=56).
b-Dans 7% des cas, le noyau
fils est dans son niveau fondamental .Dans 93% des cas, le noyau formé est
excité. Quelle conséquence cela entraine-t-il sur les rayonnements produits.
Faire un essai de comptages
du nombre de désintégration du césium 137 avec le compteur de radioactivité « CRAB »
du lycée (fig ci-dessous à gauche) ou à défaut avec le compteur virtuel
du logiciel « nucléaire » (photo de droite). Cette expérience
préliminaire permettra d’introduire concrètement ce qu’est une grandeur
aléatoire.
Dans ce dernier cas, il
faut charger (si ce n’est pas encore fait) le logiciel en question dans
l’ordinateur local à partir de la médiathèque. Cliquer alors sur le lien
suivant :
Logiciel "nucléaire"
Sachant qu’une partie
seulement du rayonnement émis par la source est captée par le tube détecteur,
le nombre affiché par l’appareil est inférieur au nombre total de
désintégrations de la source pendant la durée choisie, mais il lui est
proportionnel.
Faire une dizaine de
comptages pendant une durée donnée (2s avec le CRAB ou 5s avec
« nucléaire » en éloignant au maximum la source radioactive du
compteur)
Comparer les nombres de
désintégrations détectés.
La dispersion des résultats
résulte-t-elle d’une imprécision de l’appareil de détection? Pour quelle raison
les nombres obtenus sont-ils différents ?
Peut-on retenir une valeur
particulière ?
2-comportement d’une
population de noyaux :
Cette étude fait appel a des définitions
de statistiques rappelées ci-dessous.
a-quelques
notions de statistiques :
Variable aléatoire et
loi de probabilité:
Le résultat du lancer d’un dé
est une variable qui prend toute les valeurs possibles (ici équiprobables) entre
1 et 6 : c’est une variable aléatoire.
Le nombre de désintégrations
x1, x2,…xi,…xn des comptages pendant une durée
donnée du nombre de désintégrations qui peut prendre toutes les valeurs
possibles dans un certain intervalle (mais avec une probabilité différente) est
une variable aléatoire.
A toute variable aléatoire on
associe une loi de probabilité qui permet de déterminer quelles sont les
chances d’obtenir une valeur appartenant à un intervalle donné.
La fréquence f1, f2,…fi…est le
nombre de fois que la variable xi est obtenue.
Par exemple, lors de N=10 comptages
successifs, nous obtenons les valeurs xi suivantes :
10, 22, 24, 20, 22, 20 ,21
,22, 20, 18 désintégrations. La variable 10 est obtenue 1 fois ;
f1=1 ;
La variable 22 est obtenue 3
fois, sa fréquence est égale à 3 .etc…
Le nombre total de
désintégrations est : 
Il semble logique de retenir
comme valeur du comptage une valeur moyenne.
La moyenne des valeurs xi est une sorte de barycentre, une valeur
centrale de la distribution :
La moyenne m peut s’exprimer
aussi en fonction des probabilités que x=x1, x=x2, x=xi….etc…
Mais la moyenne n’est pas
suffisante pour décrire une loi de probabilité.
Variance d’une
distribution :
Il est nécessaire de définir
une grandeur qui caractérise la dispersion des valeurs par rapport à la
moyenne.
Pour mesurer cette
dispersion, la grandeur : 1.(10-m) + 3.(22-m) + 3.(20-m) + ……ne peut
convenir puisque certains termes vont être négatifs et d’autres positifs ce qui
donnera une somme nulle.
La grandeur qui caractérise
la dispersion est la variance .
La variance est la moyenne du carré des écarts à la moyenne. Elle est strictement positive.
Ecart-type :
Comme la variance est
homogène à une variable au carré, il faut en prendre la racine pour pouvoir
l’ajouter ou la retrancher à la moyenne, et on obtient l’écart- type
(noté s )de la distribution.
.
On caractérise la dispersion
en donnant la probabilité pour que la valeur appartienne à l’intervalle
[m -s; m +s].Cette probabilité dépend de la loi de distribution.
Nous allons utiliser le tableur Excel pour déterminer la nature de la loi de
probabilité
b-utilisation
d’un tableur :
Afin de traiter rapidement un
grand nombre de valeurs nous allons programmer les calculs et tracer un
histogramme {valeurs des xi ; fréquences fi}.
Ouvrir le document Excel« TP :
« traitement statistique(version 2009).xls ».
Dans la colonne A,
chaque cellule indique le nombre xi de désintégrations détectées pendant une
durée de 2 secondes pour 1000 comptages successifs réalisés pendant une
séance préparatoire au TP.
Le tableur permet de tracer
un histogramme qui représente le nombre de fois que l’on obtient 1, puis 2, 3,
4, ….16 désintégrations toujours pendant la même durée de 2secondes et pour un
nombre de comptages sélectionné dans la colonne.
En cliquant sur un bouton
approprié, on pourra modifier le nombre N de comptages pris en compte (de 10 à
1000 comptages) et suivre ainsi l’évolution de l’histogramme.
Nous pourrons ensuite
comparer l’histogramme à une loi théorique afin de rechercher un modèle de
distribution.
.
L’histogramme nécessite la
création de « classes de comptages » ici choisies de 1 à 16 au pas de
1(colonne B). La colonne C « effectif » indique le nombre de fois
qu’un même événement se produit. Par exemple, le chiffre 144 dans
la classe 8 indique que l’événement xi =8 (8 désintégrations
pendant 2 secondes) a été obtenu 144 fois…etc…
Pour obtenir cette
répartition en classe, il faut utiliser la fonction fréquence dont la syntaxe
est la suivante :
=FREQUENCE(colonne
données ;colonne classes).
Celle-ci, a été programmée dans une « macro »(programme
permettant d’automatiser des taches) que l’on déclenche en appuyant sur les
boutons « 10 comptages », « 50 comptages…
.
Les calculs de la valeur moyenne xmet de
l’écart type s sont effectués
pour chaque série N de comptages.
Pour accéder au tableur, cliquer sur le lien suivant :
Traitement statistique d'une série de comptages
Analyse de l’expérience:
Quand N augmente, l’enveloppe de l’histogramme prend une
allure « en cloche ».
L’allure « en cloche » suggère une loi statistique
de Gauss.
Le tracé théorique de cette courbe de Gauss est obtenu
facilement pour chaque couple de valeurs (m,s)
correspondant à chaque valeur de N .
Pour N=1000 comptages le graphe théorique est très proche de
l’histogramme expérimental.
On peut donc considérer que les fréquences mesurées suivent
une loi de Gauss et appliquer les résultats théoriques de cette loi.
On appelle « intervalle de confiance » de
la distribution, la portion de l’histogramme comprise entre [xm
– s] et [xm+s] soit ici : [4,8 ; 10].
La loi de distribution de Gauss nous dit que le nombre désintégrations
appartient à l’intervalle [4,8 ;10] avec une probabilité de 0,68 .
Conclusion :
L’étude statistique permet-elle de répondre à la
question : « quelle valeur retenir pour le nombre de désintégrations
pendant une durée donnée ? ».
La réponse est la suivante : aucune valeur
particulière ne peut-être retenue car celle-ci est par nature indéterminée,
elle est aléatoire. Cependant l’étude du comportement d’un très grand
nombre de noyaux permet de donner un intervalle à l’intérieur duquel il
est probable de trouver cette valeur avec un pourcentage de chance connu.
III- Etudes statistiques similaires réalisées dans
d’autres domaines :
1-Présentation du résultat d’une mesure :
La notion d’incertitude liée à une mesure est souvent
délaissée car difficile à appréhender.
Elle se pose inévitablement quand il s’agit de déterminer le
nombre de chiffres à donner dans un résultat. Une étude statistique faite à
l’occasion d’un TP peut aider à résoudre ce problème.
Par exemple lors d’un dosage, on demande les résultats de la
concentration aux différents élèves .Les résultats peuvent être introduits dans
un tableur ou une calculette. Le calcul de la moyenne et de l’écart-type des
résultats de mesure permettront de définir un intervalle où la probabilité
d’obtenir le résultat est quasi égale à 1. Cet intervalle correspond à ce que
l’on appelle plus couramment : « incertitude de mesure ».
2-Caractère aléatoire du lancer de dés :
La règle du jeu est proposée par le logiciel
suivant que l’on peut charger:
simulation de la radioactivité avec un jeu de dés
Ouvrir la partie 1 : « Caractère aléatoire du
lancer de dés »
La variable aléatoire est le nombre de 6 obtenus lors d’un
lancer de 100 dés.
On effectue un nombre de plus en plus grand de lancers.
L’histogramme de la fréquence de sortie du 6 en fonction du nombre de sorties
du 6 suivant les classes de comptage est tout à fait analogue à celui de la
radioactivité.
