Enoncé Mathématiques série C 1999
MATHEMATIQUES - Série C - SESSION 1999
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N.B. : Les DEUX Exercices et le Problème sont obligatoires.
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EXERCICE - I (20 points)
Une urne contient 3 jetons blancs et n jetons rouges (n Î IN*) indiscernables au toucher.
On choisit simultanément, au hasard, deux jetons de l’urne.
1° -On appelle « succès » l’obtention de deux jetons blancs.
Calculer, en fonction de n, la probabilité pn d’un succès et déterminer 
pn.(5 points)
2° -On appelle « gain » l’obtention de deux jetons de même couleur.
Calculer, en fonction de n, la probabilité qn d’un gain et déterminer qn.(5 points)
3° -a)Trouver une solution particulière (u, v) de Z x Z, de l’équation entière d’inconnues
(x , y) définie par : 5x – 4y = 1.(1 point)
b) En déduire une solution particulière (x0 , y0) de Z x Z de l’équation :
5x – 4y = 6 (1).(2 points)
c) Montrer alors que 5(x – x0) – 4(y - y0) = 0.
En déduire que x – x0 et y - y0 sont divisibles par 4 et 5 respectivement. (3 points)
4° -a)Donner les solutions générales de l’équation (1).(2 points)
b)Trouver dans ZxZ les solutions (x, y) de (1) vérifiant : -18 £ x £ 0 et -24 £ y £ 0.(2 points)
EXERCICE - II (20 points)
ABC est un triangle rectangle isocèle tel que (
, 
) = 
[2] .
I, J et K sont les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].
r est la rotation de centre I et d’angle de mesure.t est la translation de vecteur 
= 
.
f = rot et g = tor.
1°-a)Montrer que 
= et 
= 
. Montrer que AKIJ est un carré.
En déduire l’image de K par t et celle de J par r.(3 points)
b) Déterminer l’image de K par f et celle de J par g.
En déduire la nature et le éléments caractéristiques de f et g.(4 points)
c)Déterminer l’image de A par go(f –1). Caractériser alors cette transformation.(2 points)
2°-Utiliser les méthodes de décomposition de r et t en deux symétries orthogonales pour retrouver go(f -1). (4 points)
3°- a) Tracer les cercles C et C ’ de diamètres respectifs [A B] et [A C].(1 point)
b) Soit r’ la rotation de centre I et d’angle de mesure 
.
Soit M un point de C et on pose M’ = r ’(M). Montrer que C ’ est l’image de C par r ’.
Construire M’. (1 point)
c) M étant distinct de I, les droites (IM) et (IM’) recoupent respectivement
C’ en N’ et C en N. Montrer que N’ est l’image de N par r ’. (2 points)
d)On construit les carrés MIM’P et NIN’Q. Montrer que les points P et Q sont respectivement les images des points M et N par une similitude directe S dont on précisera centre, rapport et angle. (2 points)
e) En déduire les ensembles décrits par les points P et Q lorsque M décrit C. (1 point)
PROBLEME (60 points)
Soit f la fonction définie sur IR par 
, pour tout x Î IR .
On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans un plan muni d’un repère orthonormé (O,
) d’unité 2cm.
Les parties A et B sont largement indépendantes.
PARTIEA
1°-a)Montrer que f et dérivable sur IR et calculer f ’ fonction dérivée de f.(3 points)
b)En effectuant le changement de variable t = –u, montrer que f est une fonction impaire.
Etudier les variations de f sur le domaine d’étude [0, +
[.(4 points)
2°-a)Montrer que pour tout t ³ 0, on a : 
< e–t.
(1 point)
b)En déduire que pour tout x ³ 0 : f (x) £ 1.(1 point)
c)Montrer que f admet une limite finie l, en +, avec l £ 1.(1 point)
(On ne cherchera pas à calculer l).
d)Tracer (C ), (on prendra l = 
pour la construction).(6 points)
3°-Soit g la fonction définie sur ]0 ; 
[ par g(x) = ln (tanx), pour tout x Î ]0 ; [ où
ln désigne la fonction logarithme népérien.
a)Montrer que g est dérivable sur ] 0, [ , calculer g’ fonction dérivée de g
et dresser le tableau de variation de g. (3points)
b) Montrer que g réalise une bijection de ] 0 ; [ vers un intervalle J
que l’on déterminera. On note g–1 la réciproque de g.(2 points)
c)Tracer les courbes représentatives de g et g–1 sur le même repère que (C ).(6 points)
4°-Soit H une fonction définie sur ] 0, [ par H(x) = (fog)(x), pour tout x Î ] 0 ; [ .
a) Montrer que H est dérivable sur ] 0, [ et que sa dérivée H’ est une fonction
constante.(3 points)
b)Montrer alors que pour tout x Î ] 0 ; [ : H(x) = x – 
.(5 points)
|
|
c)En déduire que : 
. (On remarquera que 
= tan 
). (5 points)
PARTIEB
Soit la suite (Un)nÎIN définie par 
, pour tout nÎIN.
1°-a)Utiliser la définition du terme Un pour montrer que : pour tout p
IN,
U2p + U2p+2 = 
.(6 points)
b)Calculer U0 et U2.(3 points)
c)Montrer que pour tout nIN : Un ³ 0.
En déduire que pour tout n IN : 0 £ U2n £
.
Calculer alors U2n.(6 points)
2°-a)Vérifier que pour tout p IN : (–1)PU2p + (–1)PU2p+2 = 
.(1point)
b) En déduire que :
(–1)n–1U2n – 
=
.(2 points)
c) Soit Sn = 
que l’on écrit Sn = 
, n IN *.
Montrer, en utilisant 2°-b), que :
= 
.(2 points)