Notions sur les axes principaux d’une section

I- Définition du produit d’inertie d’une section:

Soit une section S quelconque. Repérons celle-ci dans un système d’axe de référence Oxy. Le produit d’inertie de la section est relatif aux 2 axes Ox et Oy. Décomposons la section en éléments DS de coordonnées x et y (voir fig ci-dessous) .

Le produit d’inertie élémentaire de l’élément DS par rapport aux 2 axes est égal à :

Pour la surface complète il faut réaliser la somme de tous les x.y.DS de la section:

  

- Le terme 1 s’appliquera lorsque la section S peut être décomposée en éléments de forme géométrique simple : carrés, rectangles,  triangles ayant une aire calculable.

- Le terme 2 est plus général, il nécessite une intégration de l’expression sur toute la surface.

Attention, un produit d’inertie est une grandeur algébrique (alors qu’un moment quadratique qui a la même unité est strictement positif).

II– Cas où  l’un des deux axes d’une section est axe de symétrie :

Considérons la section suivante d’axe de symétrie Gy .Comparons les produits d’inertie des 2 sections DS symétriques 1 et 2 par rapport à Gy

 

DIxy (1)= (-x)(-y) DS =x.y.DS et DIxy(2)=(x)(-y).DS=-x.y.DS et donc DI_xy(1)+DI_xy(2)=0

Les produits d’inertie des surfaces s’annulent deux à deux.

Le produit d’inertie de l’ensemble de la section S est donc nul

De plus, on démontre dans ce cas que les moments quadratiques par rapport aux axes sont extrémums (ici Ix est maxi, Iy est mini et Ixy=0).

La poutre ayant cette section est prévue pour être chargée suivant la direction GY car Ix maxi implique flèche mini suivant y.    

Les axes de symétrie Gx et Gx sont appelés axes  principaux de cette section.

III – Détermination expérimentale des axes principaux d’une cornière à ailes égales.

Les deux axes de référence Ox et Oy  parallèles aux ailes ne sont pas des axes de symétrie, contrairement au cas précédent, le produit d’inertie Ixy de la section relatif à ces 2 axes n’est donc pas nul.

Soient Ix et Iy les moments quadratiques de la même section par rapport à ces deux axes. Dans ce cas, la section est donc caractérisée par 3 grandeurs d’inertie : Ix, Iy, Ixy non nul .

Par rapport à ces 2 axes non principaux ,Ix et Iy ne sont pas extrémums. Il n’est pas intéressant de charger la poutre en flexion suivant l’un de ces 2 axes.

Nous allons faire tourner la section autour du repère Oxy afin de déterminer les axes principaux

Expérience :

1/Posons la cornière sur 2 appuis

Les 2 ailes étant en contact avec cet appui  comme l’indique la 1^ère  figure ci-dessous. Soient OX l’axe horizontal et OY l’axe vertical en rotation de 45° par rapport au repère Oxy de référence.

Suivant cette orientation nous constatons que la flèche de la poutre soumise à la charge concentrée suivant OY est maximum. Cela signifie que le moment quadratique IX est alors minimal (et dans ce cas IXY=0)

2/Faisons tourner la  section de 90° en calant les extrémités (2éme figure).

La flèche de la poutre soumise à la même charge suivant OX cette fois est minimale. Le moment quadratique Iy est maximal. (dans ce cas en effet, la matière de la section s’éloigne le plus de l’axe OY) .Cette orientation est plus favorable car elle réduit la flèche.

Les axes OX et OY sont bien les axes principaux de la section. Et ces 2 axes sont orthogonaux

Exemple pratique d’utilisation du profilé en cornière :

Si l’on veut utiliser une cornière simple comme panne de toiture par exemple, il faudra  l’orienter sur le versant de telle sorte que les charges verticales dues aux charges de toiture soient perpendiculaire à l’axe principal OY.

Pour rendre symétrique un montage avec cornière, on préfère utiliser 2 cornières placées dos à dos. Les deux axes de symétries X et Y sont alors axes principaux