Exercice bac série D 2006 : théorème de l’accélération angulaire

 

 

Corrigé

 

 

1/ Décidons d’un sens positif de la rotation (voir figure).

Le disque écarté de sa position d’équilibre est abandonné , il est  soumis au seul couple de torsion de rappel de moment :-Cq

Le signe moins indique que le moment est toujours de signe contraire à l’écart angulaire q.

Le théorème s’écrit :

C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation égale à

Et de période propre:

2/L’énergie mécanique est :

Dérivons cette expression par rapport au temps :

La relation est vraie pour toute valeur de t, on peut diviser l’équation obtenue par dq/dt.

On retrouve après les simplifications évidentes, l’équation différentielle du paragraphe précédent.

 

3/  Le pendule simple synchrone doit avoir une période égale à

Remarque : il peut être utile de se demander si la relation (*) a bien la dimension d’une longueur.

 

 

 

Autre exercice :dynamique du solide en rotation

 

Un objet de masse m est suspendue par un fil de masse négligeable. Le fil est enroulé  autour d’un disque plein  de rayon r et de masse M tournant  sans frottement  autour d’un axe horizontal D.

A l’instant t=0, l’objet est abandonné sans vitesse initiale au point O. La position de l’objet est repéré par son abscisse x mesurée à partir de O .L’axe Ox est orienté positivement vers le bas.(voir figure ci-dessous). 

On donne m=1kg, M=1kg,  r =20cm. Le moment d’inertie par rapport à son axe de rotation  de la poulie est : I_D=0,5.M.r². On prendra l’accélération de la pesanteur égale à g=9,8m.s-².

 

Questions :

 

1-Faire un bilan des forces qui s’exercent

                 a/sur l’objet

                  b/sur la poulie

                 

2-En appliquant le théorème du centre d’inertie à l’objet  d’une part et le théorème de l’accélération angulaire à la poulie d’autre part, donner les expressions en fonction de m, M et g.  

 

             a/de l’accélération a_x de l’objet suspendu .Faire l’application numérique

             b/de la tension T dans le fil.

 

                                            

4-Déterminer la date t pour laquelle la vitesse angulaire de la poulie devient égale à 10rad.s^-1.

 

5-Donner les équations horaires x(t) de l’objet et q(t) de la poulie. Quelles sont les natures des mouvements :

a/ de l’objet.

b/ de la poulie

 

 

Solution :

 

1-a/Les forces sont : le poids P de l’objet et la tension T exercée par le fil sur l’objet (voir figure ci-dessous).

    b/Sur la poulie, la tension T  et la réaction de l’axe de rotation R.

 

 

 

2- a/pour l’objet, le théorème du centre d’inertie s’écrit :

Projetons sur l’axe Ox,

(1).

b/pour la poulie : le théorème de l’accélération angulaire s’écrit :         

  en simplifiant :

 (2)

En éliminant T entre les équations (1) et (2),on obtient l’accélération et la tension.

 

L’application numérique donne :a_x=6,5m.s^-2.

 

4-L’accélération de l’objet est : m.s-².

L’accélération est une constante positive. La primitive de l’accélération donne la vitesse :

(la constante v_o=0 car à t=0, la vitesse est nulle).

Comme x= r.q, l’équation de la vitesse s’écrit :

 soit   ,

Cela se produit à la date  t= 0,2.10/6,5=0,3s

La dérivée seconde de q (l’accélération angulaire) est constante.

 

5-

a/équation horaire de l’objet suspendu : x=3,25.t² +xo=3,25.t².

(la constante x₀ est nulle car à t=0, x=0)

le mouvement de l’objet est une translation rectiligne uniformément accélérée.       

 

b/équation horaire de la poulie :

q=x/r=(3.25/0.2).t²=16,25t².

Le mouvement de la poulie est circulaire uniformément accéléré.