Moment d'inertie : exemples de calcul*

Moment d'inertie par rapport à un axe (D)

La masse inertielle m d'une particule est la mesure de son inertie de translation. Elle représente l'opposition qu'offre un corps à voir changer son état de mouvement de translation. En rotation, c'est le moment d'inertie I d'un système qui représente la mesure de l'opposition qu'offre ce système à voir changer son état de mouvement de rotation autour d'un axe .

1-définitions :

a-moment d’inertie d’une masse ponctuelle :

Par définition le moment d'inertie ID, par rapport à un axe D, d'un point matériel de masse m située à une distance r de D est :


b- moment d’inertie d’un système de points :

Un système de N points matériels de masses mi, distants de ri de l'axe D, aura pour moment d'inertie par rapport à D :
Le moment d’inertie d’une distribution de masse par rapport à un axe est égal à la somme des produits de chaque élément de masse mi  par le carré de la distance ri de cet élément à l’axe :  I  =  S mi ri2
Dans le cas d'un corps solide constitué d'une infinité de points matériels, nous passerons à la limite suivante :

2-Exemples :

a/Moment d’inertie d’un cerceau par rapport à l’axe de rotation :

 Le cerceau est supposée homogène de masse linéaire l.
Décomposons la circonférence en petits éléments de jante de masse dm situés tous à la distance r de l’axe.
dm=l.ds=l.r.dq. (avec l = masse linéaire de la jante)
Moment d’inertie élémentaire : dID=dm.r2=l.r3.dq.
Soit :
Ici, le calcul est simple puisque r est constant, il peut être sorti de l’intégrale
La masse totale de la jante est : M=2.P.r.l . on a donc  ID=Mr2.

b/moment d’inertie d’une barre de longueur L, par rapport à un axe perpendiculaire à la barre et passant par son centre:

La barre est homogène de masse linéaire r
J_\Delta = \int_{-L/2}^{+L/2} x^2\rho\,\mathrm dx = \frac{1}{12} \rho L^3 = \frac{1}{12} M L^2 (avec M = ρL)
 

c/moment d’inertie d’un cylindre de rayon R et de longueur L par rapport à l’axe de symétrie longitudinal.

Le moment d’inertie du cylindre est la somme des moments d’inertie des volumes élémentaires (en jaune) situés à distance r de l’axe de rotation
J_\Delta = \int_{0}^{R} r^2 (\rho 2 \pi r L\,\mathrm dr) = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 L = \frac{1}{2} M R^2 (avec M = ρπR2L)
 
 

3-Théorème d'Huyghens :

Le moment d'inertie d'un solide, par rapport à un axe (D1), est égal au moment d'inertie de ce solides par rapport à un axe DG , parallèle à D1, passant par le centre de gravité augmenté du produit Md2 (M étant la masse du solide et d la distance entre les deux axes)

ID = IDG + Md2
Par exemple, calculons le moment d'inertie d’une barre par rapport à l’axe passant par une de ses extrémités et parallèle à D.
Le moment d’inertie d’un cylindre par rapport à une génératrice D1

ici : d=R/2
Moment d'inertie par rapport à un point
Le moment d'inertie d'un corps par rapport à un point O est égal à la demi-somme de ses moments d'inertie par rapports à trois axes perpendiculaires (Ox, Oy, Oz) passant par le point O.

IO = ( IOx + IOy + IOz ) / 2
Modifié le: Wednesday 17 August 2016, 10:56