« E=mc² »

Source :http://www.astrosurf.com/astrotwins/Dossier/E=mc2.html:

Texte adapté par P Baudoux pour les élèves de terminale de lycée

1-Objectifs :

Montrer les insuffisances de la mécanique de Newton.

Développer les fondements de la relativité restreinte d’Einstein.

 

 2. L'expérience de Bertozzi ou les insuffisances de la mécanique de Newton :

 
  a-description :

 Voici en quoi consiste l'expérience de Bertozzi qui a l’avantage d’être d’une grande simplicité dans son principe. Elle date de 1964. On accélère des paquets d'électrons ; à la sortie de l'accélérateur (voir figure ci-dessous), ils passent dans une enceinte vide d’air. Ils parcourent une longueur de 8,4 m, puis viennent frapper une plaque de cuivre..

  En pénétrant dans l’enceinte certains électrons du paquet sont captés par le cable conducteur C₁, qui se charge négativement. Lorsque les électrons frappent la plaque de cuivre, un 2^ème signal est recueilli par l'intermédiaire du câble C₂ qui a la même longueur que le premier afin que les durées de propagation dans les fils soient le mêmes. L’oscilloscope ayant une vitesse de balayage très grande détecte les deux signaux décalés sur l’écran .L'écart entre les deux permet de mesurer le temps de vol des paquets entre C₁ et C₂.

 

b-expression newtonienne de la vitesse des paquets à la sortie du tube  (rappel):

           q= -1,6.10-¹⁹C est la charge de l’électron.

           U : tension accélératrice entre les deux extrémités du tube.

           m = 9,1.10^-31kg  masse de l’électron

 

Les électrons conserveraient  ensuite cette vitesse entre C₁ et C₂. Remarquons que l’application de cette formule indique que si U tend vers l’infini, V tend aussi vers l’infini !

c-Résultats des mesures :

L’expérience  permet de mesurer  la vitesse des paquets d’électrons en divisant la distance de 8,4m par le temps de vol.   

 

 

Energie cinétique de l’électron (MeV)	Temps de vol mesuré (ns)	Vitesse observée V (x108m.s-1)	Vitesse(1) prévue par la mécanique de Newton (x108m.s-1)
0,5	32,3	2,6	4,19	0,751
1,0	30,8	2,73	5,93	0,828
1,5	29,2	2,88	7,26	0,922
4,5	28,4	2,96	12 ,6	0,973
15,0	28,1	2,99	23	0,993

. Les résultats sont en désaccord avec l’expression newtonienne

Quelle que soit leur énergie, la vitesse  des électrons ne peut dépasser celle de la lumière dans le vide. C=3.10⁸m.s^-1 apparaît comme une limite infranchissable !

b- Le  dispositif expérimental (voir figure):

La lumière provenant de la source monochromatique tombe sur un premier miroir M₁ semi-réfléchissant et incliné à 45°.Le faisceau se partage en deux, une partie se réfléchit et se dirige vers M₂ et l’autre se dirige vers M₃. En se réfléchissant sur M₂ et M₃, les rayons  parviennent dans l’oculaire où ils se superposent après avoir suivi des chemins différents.

Les longueurs L des « bras » du dispositif sont égales.

c-  le calcul de la durée de chaque chemin optique :

Appliquons à la lumière la loi de composition des vitesses de la mécanique newtonienne.

Si la Terre se déplace à la vitesse u =30km/s par rapport a l’éther et dans le même sens que le rayon lumineux, la vitesse totale de la lumière serait :c+u, et si elle se déplace dans le sens contraire, la vitesse est c-u, d’où le temps t₁ mis par la lumière pour effectuer le trajet aller et retour:OM₂O   :

Pour calculer le temps t₂ mis pour effectuer le trajet OM₃O, il faut appliquer la loi de composition vectorielle des vitesses. Nous admettrons le résultat :

Ces durées ne sont pas identiques et donc le décalage horaire t₂-t₁=dt n’est pas nul. Les deux faisceaux présentent un déphasage en se superposant 

L’application de la loi de composition des vitesses de la mécanique prévoît  donc un déphasage entre les deux faisceaux arrivant dans l’oculaire del’observateur.

(Notons qu’un déphasage supplémentaire existe du fait que les deux bras n’ont pas rigoureusement la même longueur L mais ce dernier peut être compensé en réalisant l’expérience une nouvelle fois après rotation de l’appareil de 90°).  

Cette expérience devait permettre de calculer la vitesse u de translation de la Terre par rapport à l’éther puisque le décalage dt dépend de u.                                 

 

d-Les observations de Michelson et Morley :

Le premier interféromètre monté par Michelson n'étant pas assez précis, c'est avec Morley que finalement les deux chercheurs purent affirmer l’absence de déphasage et donc la non validité des hypothèses sur la composition des vitesses de la lumière avec la Terre.

Cette expérience est sans doute la plus célèbre des expériences négatives (donnant un résultat contraire à ce qui était recherché).

Il faut abandonner le concept d’éther et admettre que la célérité de la lumière est la même par rapport à la Terre se déplaçant dans le sens de la lumière ou dans le sens contraire !

e-Les postulats de la relativité :

f-quelques explications :

Concrètement cela signifie que la lumière émise par les phares d’un véhicule se déplaçant à la vitesse de 90km/h est c=3.10⁸m/s  par rapport au conducteur (ce qui n’est pas surprenant…) Le postulat de la relativité nous dit que cette lumière se déplace encore à la vitesse c par rapport au sol (et non c+90 !). Un véhicule roulant en sens inverse à 90, recevra cette lumière encore à la vitesse c (et non c+180 !).

Une expérience d’optique réalisée avec ce faisceau de lumière dans un labo lié au sol donnera les mêmes résultats que le véhicule soit en mouvement ou pas.

Einstein généralise le principe (mécanique) de relativité de Galilée :« aucune expérience  de mécanique ne permet de mettre en évidence le mouvement rectiligne et uniforme du référentiel dans lequel elle se déroule »  

Einstein étend le principe de Galilée à toute la physique. Ainsi le dispositif de Michelson est incapable de montrer  le mouvement  éventuel du référentiel Terre.

Aucune expérience de physique ne peut mettre en évidence le mouvement rectiligne et uniforme du référentiel galiléen dans lequel s’effectue l’expérience.

4- E=mc²: Comment cette formule permet le calcul de l'énergie libérée par une réaction nucléaire.
 

Cette relation découle des 2 postulats cités plus haut, elle fut établie par Einstein en 1905 dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte. Elle permet par exemple l’interprétation énergétique des réactions nucléaires ce que la mécanique newtonienne ne peut pas faire. Notons que la mécanique relativiste ne contredit pas la mécanique newtonienne tant que le domaine des vitesses reste inférieur à une valeur de l’ordre de 30.000km/s (soit un dixième de c). Le mouvement  des planètes ou des comètes est prévisible avec une très grande précision  avec la mécanique newtonienne !
 

1. L'équivalence entre la masse et l'énergie

    Par des techniques très précises, il est possible de mesurer la masse d'un noyau et celle d'un proton isolé ou d'un neutron isolé. Il s'avère que la masse du noyau est inférieure à la somme des masses de chacun de ses nucléons.

    Alors où est passée cette masse? Et bien elle s'est transformée en énergie. Cette quantité d'énergie est appelée énergie de liaison et elle correspond à l'énergie qu'il faut fournir au noyau pour qu'il soit dissocié en nucléons .
 

Considérons le diagramme d’énergie du système de nucléons. 

 

Le niveau d’énergie E₂ correspond à l’état lié où les noyaux interagissent entre –eux pour former le noyau. C’est l’état le plus stable.

Le niveau E₁ correspond à l’état de rupture du noyau en ses nucléons séparés. C’est un état instable car les nucléons supposés proches les uns des autres sont sensibles à l’interaction nucléaire qui tend à les souder.

Il faut fournir une l’énergie égale à l’énergie de liaison El=E₁-E₂ pour rompre le noyau. Inversement, lorsque le noyau se forme à partir de ses nucléons, le système libère une énergie égale à –El. Dans ce dernier cas le système libère de l’énergie.

Au cours de cette transformation 1à2 La relation d’Einstein s’écrit :

E₂-E₁=(m₂-m₁)c²= m.c²  avec m<0   car le système libère de l’énergie .

La relation d’Einstein stipule qu’il y a équivalence entre la masse et l’énergie.

Une perte de masse équivaut à une libération d’énergie du système.

E= M.c².

 

Il est évident que l’énergie de liaison  croît avec le nombre de nucléons et donc avec la taille du noyau. Pour autant, il ne faudrait pas conclure que les noyaux les plus gros sont les plus stables ! C’est plutôt le contraire ! Si un seul nucléon se libère, c’est tout l’édifice qui s’écroule. C’est l’énergie de liaison par nucléon qui caractérise sa stabilité.Pour un noyau comprenant A nucléons (nombre de masse), c’est le rapport El/A (énergie de liaison par nucléons) .

 

2. La fusion nucléaire

Pourquoi une réaction de fusion libère-t-elle de l'énergie?

    La somme des masses de 2 petits noyaux est plus importante que la masse de leurs noyaux fusionnés. Or d'après E=mc² , si m diminue lors de la formation du noyau (perte de masse du système:Dm<0) alors le système libère une énergie équivalente DE.

    On peut calculer cette énergie lors de la réaction suivante:

²₁H + ³₁H  => ⁴₂He + ¹₀n

Bilan énergétique de la transformation :

On donne les masses des particules en unités de masse atomique :

particule	masse en u(*)
Noyau de deutérium :12H	2,01345
Noyau de tritium :   13H	3,01550
Noyau d’hélium : 24He	4,00150
Neutron 11n	1,00866

 

Variation de masse de masse : m=4,00150+1,00866-3,01550-2,01345= -0,01879u.

Energie libérée par noyau d’hélium formé : E=-0.01879u.c².931(**)Mev/c²=-17,5Mev.

Soit en joules : E=-17,5.10⁶.1,6.10^-19=28.10^-13J.

Soit, pour une mole de noyaux formés : 28.10^-13.6.02.10²³= 168.10⁷kJ/mol.

Comparons cette énergie à la combustion de 1 mole de méthane :891kJ.mol^-1 .

Cela représente une énergie environ 2 millions fois plus grande pour la fusion de l’hélium!

(*) unité de masse atomique = c’est la masse égale à 1/12 de la masse d’une mole d’atomes ₆¹²C   -donc un atome(noyau + électrons) de carbone 12 aune masse très exactement égale à 12,0000u

(**) l’énergie correspondante à 1 unité est 931 MeV/c².

Ces unités sont beaucoup plus pratiques avec des particules élémentaires.